재생핵 힐베르트 공간

함수해석학에서, 재생핵 힐베르트 공간(再生核Hilbert空間, 영어: reproducing kernel Hilbert space)은 값매김 연산자가 유계 작용소인, 함수로 구성된 힐베르트 공간이다.^[1][2] 함수의 동치류로 구성된 르베그 공간 따위와 달리, 재생핵 힐베르트 공간은 함수로 구성되어야 한다. (르베그 공간의 경우, 주어진 점에서 함수 동치류의 원소들이 임의의 값을 가질 수 있어 값매김 연산자를 정의할 수 없다.)

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 주어졌다고 하자. 재생핵 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간 ${\displaystyle (H,X,\iota ,K)}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간 ${\displaystyle (H,\langle -|-\rangle )}$
• 집합 ${\displaystyle X}$
• 단사 실수 선형 변환 ${\displaystyle \iota \colon H\hookrightarrow \mathbb {K} ^{X}}$
• 사상 ${\displaystyle K\colon X\to H}$, ${\displaystyle x\mapsto K_{x}}$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$ 및 ${\displaystyle f\in H}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {ev} _{x}(\iota (f))=\langle K_{x}|f\rangle }$

여기서

${\displaystyle \operatorname {ev} _{x}\colon \mathbb {K} ^{X}\to \mathbb {K} }$

${\displaystyle \operatorname {ev} _{x}\colon f\mapsto f(x)}$

는 함수 공간 위의 값매김 사상이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립하여야 한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X\times H&{\overset {(\operatorname {id} ,\iota )}{\to }}&X\times \mathbb {K} ^{X}\\{\scriptstyle (K,\operatorname {id} )}\downarrow {\color {White}\scriptstyle (K,\operatorname {id} )}&&{\color {White}\scriptstyle {\operatorname {ev} }}\downarrow {\scriptstyle {\operatorname {ev} }}\\H\times H&{\underset {\langle -|-\rangle }{\to }}&\mathbb {R} \end{matrix}}}$

이 경우, ${\displaystyle (H,K,\iota ,K)}$의 재생핵은 다음과 같은 함수이다.

${\displaystyle K(-,-)\colon X\times X\to \mathbb {K} }$

${\displaystyle K(x,y)=\langle K_{x}|K_{y}\rangle }$

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$라고 하자. 함수

${\displaystyle K\colon X\times X\to \mathbb {K} }$

가 주어졌다고 하자. 이 경우, 임의의 유한 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$, ${\displaystyle |Y|<\aleph _{0}}$에 대하여, 이를 표준적으로

${\displaystyle K\colon \mathbb {K} ^{Y}\times \mathbb {K} ^{Y}\to \mathbb {K} }$

${\displaystyle K\colon \left(\sum _{x\in Y}a_{x}x,\sum _{y\in Y}b_{y}y\right)\mapsto \sum _{x,y\in Y}{\bar {a}}_{x}a_{y}K(x,y)}$

로 선형으로 확장할 수 있다.

함수

${\displaystyle K\colon X\times X\to \mathbb {K} }$

가 다음 조건들을 만족시킨다면, 이를 ${\displaystyle X}$ 위의 양의 정부호 핵(영어: positive-definite kernel)이라고 한다.

• (대칭성) ${\displaystyle K(x,y)={\overline {K(y,x)}}\qquad \forall x,y\in X}$
• (양의 부정부호) 임의의 유한 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$ 및 ${\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}\in \mathbb {K} ^{Y}}$에 대하여, ${\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {y}})\geq 0}$
• (비퇴화성) 임의의 유한 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$ 및 ${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {K} ^{Y}}$에 대하여, ${\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {x}})=0}$일 필요 조건은 ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {0}}}$인 것이다.

${\displaystyle X}$ 위의 양의 정부호 핵 ${\displaystyle K}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 함수들을 생각하자.

${\displaystyle f(y)=\sum _{x\in X}^{\infty }a_{x}K(x)}$

${\displaystyle \sum _{x\in X}a_{x}^{2}K(x,x)<\infty }$

${\displaystyle |\{x\in X\colon a_{x}\neq 0\}|\leq \aleph _{0}}$

이러한 함수들의 공간을 ${\displaystyle H}$라고 하자. 그 위에 내적

${\displaystyle \left\langle \sum _{x}a_{x}K_{x}{\Bigg |}\sum _{y}b_{y}K_{y}\right\rangle =\sum _{x,y}a_{x}a_{y}K(x,y)}$

을 정의하면, ${\displaystyle H}$는 힐베르트 공간을 이루며

${\displaystyle \forall x\in X\colon K_{x}\in H}$

이다. 또한, 임의의

${\displaystyle f=\sum _{y}a_{y}K_{y}}$

에 대하여,

${\displaystyle \left\langle K_{x}{\Bigg |}\sum _{y}a_{y}K_{y}\right\rangle =\sum _{y}a_{y}K(x,y)=f(x)}$

이다. 즉, ${\displaystyle (H,X,K)}$는 재생핵 힐베르트 공간을 이룬다.

반대로, 모든 재생핵 힐베르트 공간은 위와 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.

${\displaystyle X}$가 유한 집합이라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle H=\mathbb {K} ^{X}}$

${\displaystyle K(x,y)=\delta (x,y)}$ (크로네커 델타)

는 재생핵 힐베르트 공간을 이룬다.

보다 일반적으로, ${\displaystyle H}$ 위의 재생핵 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간은 모든 고윳값이 양의 실수인 ${\displaystyle |X|\times |X|}$ 대칭 행렬(${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$) 또는 에르미트 행렬(${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$)로 주어진다.

실수선 ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ 위의 함수 공간

${\displaystyle H=\{f\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {K} )\colon \operatorname {supp} ({\mathcal {F}}f)\subseteq [-a,a]\}}$

을 생각하자.^{[1]:Example 4.2} 즉, 이는 연속 함수 가운데, 푸리에 변환 아래 주파수들의 절댓값이 ${\displaystyle a}$ 이하인 것들의 공간이다. 그 위의 힐베르트 내적은

${\displaystyle \langle f|g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-a}^{a}{\overline {{\mathcal {F}}f(\omega )}}{\mathcal {F}}g(\omega )\,\mathrm {d} \omega }$

이다.

이 경우, 재생핵은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle K(x,y)={\frac {\sin(a(y-x))}{\pi (y-x)}}}$

${\displaystyle K_{x}\colon y\mapsto K(x,y)}$

이 경우

${\displaystyle {\mathcal {F}}K_{x}(\omega )=\exp(-\mathrm {i} \omega x)[-a\leq \omega \leq a]}$

이다 (${\displaystyle [\dotsb ]}$는 아이버슨 괄호). 구체적으로, 임의의 ${\displaystyle f\in H}$에 대하여

${\displaystyle \langle K_{x}|f\rangle =\int _{-a}^{a}{\overline {{\mathcal {F}}K_{x}(y)}}f(y)\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2\pi }}\int _{-a}^{a}{\mathcal {F}}f(\omega )\exp(\mathrm {i} \omega x)\,\mathrm {d} \omega =f(x)}$

이다.

재생핵 ${\displaystyle K_{x}}$는 일종의 ‘주파수 한정’ 디랙 델타로 생각할 수 있다. 만약 ${\displaystyle a\to \infty }$ 극한을 취할 경우, 분포로서 ${\displaystyle K(x,y)\to \delta (y-x)}$가 된다.

복소평면 속의 원

${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}}$

위의 베르그만 공간(영어: Bergmann space) ${\displaystyle H}$는 L² 노름이 유한한 정칙 함수 ${\displaystyle \mathbb {D} \to \mathbb {C} }$들의 집합이며, 그 힐베르트 내적은 물론 L² 노름으로 유도된다. 이 경우, 재생핵

${\displaystyle K(w,z)={\frac {1}{(1-{\bar {w}}z)^{2}}}}$

을 부여하면, ${\displaystyle (\mathbb {D} ,H,K)}$는 복소수 재생핵 힐베르트 공간을 이룬다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 공간 ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle X}$ 위의 유한 보렐 측도 ${\displaystyle \mu \colon \operatorname {Borel} (X)\to [0,\infty )}$. 또한, 모든 열린집합의 측도가 양의 실수라고 하자.
• 연속 함수인 양의 정부호 핵 ${\displaystyle K\colon X\times X\to \mathbb {R} }$

그렇다면, ${\displaystyle K}$는 연산자

${\displaystyle T_{K}\colon \operatorname {L} ^{2}(X)\to \operatorname {L} ^{2}(X)}$

${\displaystyle T_{K}\colon f\mapsto \left(x\mapsto \int _{X}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)}$

를 정의한다. 이 경우, 머서 정리(영어: Mercer’s theorem)에 의하여, ${\displaystyle T_{K}}$는 유계 작용소이며 콤팩트 작용소이며 자기 수반 작용소이며, 어떤 함수열

${\displaystyle ([f_{i}])_{i=0}^{\infty }\subseteq \operatorname {L} ^{2}(X)}$

을 고유 벡터로 가지며, 그 고윳값

${\displaystyle T_{K}[f_{i}]=\sigma _{i}T_{K}}$

들은 음이 아닌 실수 값의 감소 수열

${\displaystyle \infty >\sigma _{0}>\sigma _{1}>\dotsb >0}$

을 이룬다. 또한, ${\displaystyle ([f_{i}])_{i=0}^{\infty }}$는 힐베르트 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(X)}$의 정규 직교 기저를 이룬다. 또한, 함수 동치류 ${\displaystyle [f_{i}]}$의 대표원 ${\displaystyle f_{i}\colon X\to \mathbb {K} }$를 (유일하게) 연속 함수로 잡을 수 있다.

즉,

${\displaystyle K(x,y)=\sum _{i=0}^{\infty }\sigma _{i}f_{i}(x)f_{i}(y)}$

의 꼴이다. 이 경우,

${\displaystyle H=\left\{f\in \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )\cap {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )\colon \sum _{i=0}^{\infty }\sigma _{i}^{-1}|\langle f|\phi \rangle _{\operatorname {L} ^{2}}|^{2}<\infty \right\}}$

${\displaystyle \langle f|g\rangle _{H}=\sum _{i=0}^{\infty }\sigma _{i}^{-1}\langle f|\phi _{i}\rangle _{\operatorname {L} ^{2}}\langle \phi _{i}|g\rangle _{\operatorname {L} ^{2}}}$

로 놓으면, ${\displaystyle (H,X,K)}$는 ${\displaystyle X}$ 위의 재생핵 힐베르트 공간을 이룬다.

• “再生核Hilbert空間”. 《朱鷺の杜Wiki》 (일본어). 2019년 7월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2020년 6월 30일에 확인함.