전사 사상

이 문서는 일반적인 범주에서의 전사 사상에 관한 것입니다. 집합 사이의 전사 사상에 대해서는 전사 함수 문서를 참고하십시오.

범주론에서 전사 사상(全射寫像, 영어: epimorphism)은 두 사상의 등식에서 오른쪽에서 합성되어 있을 때, 소거할 수 있는 사상이다. 단사 사상의 반대 개념이다.

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 다음 조건을 만족시키면, 전사 사상이라고 한다.

• 임의의 대상 ${\displaystyle Z}$ 및 사상 ${\displaystyle g_{1},g_{2}\colon Y\to Z}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f}$라면 ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$이다.

  ${\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\overset {g_{1}}{\underset {g_{2}}{\rightrightarrows }}}Z}$

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영 사상을 갖는 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서, 어떤 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$의 여핵 ${\displaystyle \operatorname {coker} f\colon K\to X}$으로 나타낼 수 있는 사상을 정규 전사 사상(영어: normal epimorphism)이라고 한다. 정규 전사 사상은 (쌍대극한이므로) 항상 전사 사상이다.

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서, 강한 전사 사상(強-全射寫像, 영어: strong epimorphism)은 모든 단사 사상에 대하여 왼쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 전사 사상이다. 즉, 전사 사상 ${\displaystyle \pi \colon X\to Y}$가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 전사 사상이라고 한다.

임의의 가환 사각형

${\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {\pi }}&Y\\\downarrow &&\downarrow \\A&{\xrightarrow[{i}]{}}&B\end{matrix}}}$

에서 ${\displaystyle i}$가 단사 사상이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상 ${\displaystyle Y\to A}$가 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {\pi }}&Y\\\downarrow &{\scriptstyle \exists !}\swarrow &\downarrow \\A&{\xrightarrow[{i}]{}}&B\end{matrix}}}$

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 전사 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 다음 조건을 만족시키면, 극단 전사 사상(極端全射寫像, 영어: extremal epimorphism)이라고 한다.

• 임의의 대상 ${\displaystyle Z}$ 및 사상 ${\displaystyle g\colon X\to Z}$ 및 단사 사상 ${\displaystyle h\colon Z\to Y}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f=h\circ g}$라면 ${\displaystyle h}$는 동형 사상이다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}X\\{\scriptstyle g}\downarrow &\searrow \scriptstyle f\\Z&{\xrightarrow[{h}]{}}&Y\end{matrix}}}$

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상

동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상

동형 사상 = 단사 사상 ∩ 극단 전사 사상 = 전사 사상 ∩ 극단 단사 사상

분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 그 오른쪽 역사상 ${\displaystyle s\colon Y\to X}$이 주어졌을 때 ${\displaystyle f=\operatorname {eq} \{s\circ f,\operatorname {id} _{X}\}}$이기 때문이다.

요네다 매장을 통하여, 전사 사상의 조건을 준층 범주에서 해석할 수 있다. 즉, 국소적으로 작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f}$는 전사 사상이다.
• 임의의 대상 ${\displaystyle Z}$에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 ${\displaystyle (\circ f)\colon \hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\to \hom _{\mathcal {C}}(X,Z)}$는 단사 함수이다.
• 쌍대 준층 토포스의 반대 범주 ${\displaystyle \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} })^{\operatorname {op} }}$로 가는 요네다 매장 함자 ${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} })^{\operatorname {op} }}$ 아래서, ${\displaystyle f}$의 상 ${\displaystyle (f\circ )\colon \hom _{\mathcal {C}}(-,X)\to \hom _{\mathcal {C}}(-,Y)}$은 쌍대 준층 토포스 ${\displaystyle \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} })}$에서의 단사 사상 (즉, 쌍대 준층 토포스의 반대 범주 ${\displaystyle \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} })^{\operatorname {op} }}$에서의 전사 사상)이다.

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 전사 사상은 그 반대 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$의 단사 사상이다.

구체적 범주에서, 함수로서 전사 함수인 사상은 항상 전사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 모든 전사 사상이 전사 함수인 구체적 범주로는 다음과 같은 예를 들 수 있다.

• 집합과 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$에서의 전사 사상은 전사 함수이다.
• 군과 군 준동형의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$에서의 전사 사상은 전사 군 준동형이다.
• 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간과 선형 변환들의 범주 ${\displaystyle K{\text{-Vect}}}$에서의 전사 사상은 전사 선형 변환이다.
• 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 전사 사상은 전사 연속 함수이다.

전사 함수가 아닌 전사 사상이 존재하는 구체적 범주로는 다음과 같은 예를 들 수 있다.

• 모노이드의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Mon} }$에서, 자연수의 덧셈 모노이드에서 정수의 덧셈 모노이드로 가는 포함 함수 ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {Z} }$는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다. 보다 일반적으로, 모노이드 ${\displaystyle M}$의 군화 (망각 함자의 왼쪽 수반 함자) ${\displaystyle G}$가 주어졌을 때, 포함 모노이드 준동형 ${\displaystyle M\to G}$는 항상 전사 사상이자 단사 사상이자 단사 함수이지만, (${\displaystyle M}$이 군이 아니라면) 전사 함수가 아니다.
• 환의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ring} }$에서, 포함 함수 ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.
• 하우스도르프 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Haus} }$에서, 전사 사상은 상이 조밀 집합인 연속 함수이다. 예를 들어, 포함 함수 ${\displaystyle \mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.

집합과 함수의 토포스 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$에서는 다음이 성립한다.

• 전사 사상은 전사 함수이다.
• 전사 사상 · 정칙 전사 사상 · 유효 전사 사상의 개념이 일치한다.

(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

군과 군 준동형의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$에서는 다음이 성립한다.

• 전사 사상은 전사 함수인 군 준동형이다.
• 모든 전사 사상은 정규 전사 사상이다.

위상 공간과 연속 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$에서는 다음이 성립한다.

• 전사 사상은 전사 함수인 연속 함수이다.
• 정칙 전사 사상은 몫사상이다.
• 모든 정칙 전사 사상은 유효 전사 사상이다.

(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 전사 사상을 정의할 수 없다.)

• 단사 사상

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. 

• “Epimorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Normal epimorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Epimorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Strict epimorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Strong epimorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Extremal epimorphism”. 《nLab》 (영어). 
• Yuan, Qiaochu (2012년 9월 29일). “Monomorphisms and epimorphisms”. 《Annoying Precision》 (영어). 2015년 9월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 4일에 확인함. 
• Trimble, Todd. “Epimorphisms in the category of groups” (영어). 
• Tagne, Christian Nguembou (2010년 1월 30일). “Epimorphisms in the category of groups” (영어). 
• “Inclusion of natural numbers in integers is epimorphism”. 《ProofWiki》 (영어).