토포스

범주론, 논리학과 대수기하학에서 토포스(영어: topos, 복수형 영어: topoi 토포이^[*])는 어떤 공간 위의 층들의 범주와 유사한 성질을 갖는 범주이다. 토포스는 대수기하학에서는 위상 공간의 개념의 일반화로서 등장하며, 반면 논리학에서는 토포스는 집합의 범주의 일반화로서 등장한다. 이러한 다른 토포스에서도 집합의 범주와 유사한 내부 언어(영어: internal language)를 사용할 수 있다.

토포스(영어: (elementary) topos)는 다음 조건들을 만족시키는 범주이다.

• 유한 완비 범주이다. 즉, 모든 유한 극한이 존재한다.
• 데카르트 닫힌 범주이다.
• 부분 대상 분류자 ${\displaystyle (\Omega ,\top )}$를 갖는다.

부분 분류 대상 분류자 대신, 멱대상(영어: power object)의 개념을 도입하여 둘째 및 셋째 조건을 "모든 대상은 멱대상을 갖는다"로 대체할 수 있다.

그로텐디크 토포스(영어: Grothendieck topos)는 위치 위의 (집합 값을 갖는) 층들의 범주와 동치인 범주이다. 이는 지로 정리(영어: Giraud’s theorem)를 사용하여 공리적으로도 정의할 수 있다. 모든 그로텐디크 토포스는 토포스임을 보일 수 있다.

구체적으로, 지로 정리에 의하면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 그로텐디크 토포스이다.
• 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 다음 조건들을 만족시킨다.
  • ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 유한 쌍대 완비 범주이다.
  • 생성 집합을 갖는다.
  • 쌍대 극한은 올곱과 가환한다.
  • (쌍대곱의 서로소성) 쌍대곱 ${\displaystyle X\sqcup Y}$에 대한 당김 ${\displaystyle X\times _{X\sqcup Y}Y}$은 시작 대상 ${\displaystyle 0\in {\mathcal {C}}}$과 같다.
  • 모든 동치 관계는 유효 동치 관계이다.

여기서 임의의 범주에서의 동치 관계는 다음 조건을 만족시키는 사상 ${\displaystyle r\colon R\to X\times X}$이다.

• 임의의 대상 ${\displaystyle Y}$에 대하여, ${\displaystyle r}$로부터 유도되는 사상 모임 사이의 사상 ${\displaystyle r^{*}\colon \hom(Y,R)\to \hom(Y,X)\times \hom(Y,X)}$은 (모임 위의) 동치 관계를 이룬다.

동치 관계에 대하여, 두 사영 사상에 대한 쌍대동등자 ${\displaystyle X\twoheadrightarrow X/R}$를 정의할 수 있다. 표준적 사상 ${\displaystyle R\to X_{X/R}X}$이 동형 사상이라면, ${\displaystyle r}$를 유효 동치 관계라고 한다.

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 다음 조건들을 만족시킨다면, 준토포스(準topos, 영어: quasitopos)라고 한다.

• 유한 완비 범주이며 유한 쌍대 완비 범주이다.
• 국소 데카르트 닫힌 범주이다.
• 강한 부분 대상 분류자 ${\displaystyle (\Omega ,\top \colon 1\to \Omega )}$가 존재한다.

모든 토포스는 준토포스이다. 준토포스는 토포스의 정의에서 부분 대상 분류자의 존재를 강한 부분 대상 분류자의 존재로 약화시킨 것이다.

위치 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 위의 층 범주 ${\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {C}})}$가 토포스를 이루는 것처럼, 위치 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 위의 분리 준층 범주 ${\displaystyle \operatorname {SepPSh} ({\mathcal {C}})}$는 준토포스를 이룬다. 보다 일반적으로, 작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 위에 두 개의 그로텐디크 위상 ${\displaystyle j}$ 및 ${\displaystyle k}$가 주어졌으며, ${\displaystyle j}$가 ${\displaystyle k}$보다 더 엉성할 때 (${\displaystyle j\subseteq k}$), ${\displaystyle j}$-층인 ${\displaystyle k}$-분리 준층들의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {C}},j)\cap \operatorname {sepPSh} ({\mathcal {C}},k)}$는 준토포스를 이룬다. 이와 같이 나타낼 수 있는 준토포스를 그로텐디크 준토포스(영어: Grothendieck quasitopos)라고 한다.^[1] 그로텐디크 토포스에 대한 지로 정리와 마찬가지로, 그로텐디크 준토포스에 대해서도 지로 정리가 존재한다.

토포스를 위상 공간의 일반화로 생각하여, 위상 공간 위의 여러 개념들을 토포스에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

두 토포스 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ 사이의 기하학적 사상(영어: geometric morphism) ${\displaystyle f\colon {\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$는 다음 조건을 만족시키는 수반 함자쌍

${\displaystyle f^{*}\dashv f_{*}}$

${\displaystyle f_{*}\colon {\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle f^{*}\colon {\mathcal {Y}}\to {\mathcal {X}}}$

이다.

• ${\displaystyle f^{*}}$는 모든 유한 극한을 보존한다.

기하학적 사상 ${\displaystyle (f^{*},f_{*})}$에서, 만약 ${\displaystyle f^{*}}$가 추가로 왼쪽 수반 함자

${\displaystyle f_{!}\dashv f^{*}\dashv f_{*}}$

를 갖는다면, 이를 본질적 기하학적 사상(영어: essential geometric morphism)이라고 한다.

만약 ${\displaystyle \operatorname {Sh} (X)}$와 ${\displaystyle \operatorname {Sh} (Y)}$가 위상 공간 위의 그로텐디크 토포스이며, 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 주어졌다면, 층의 직상 ${\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {Sh} (X)\to \operatorname {Sh} (Y)}$ 및 역상 ${\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Sh} (Y)\to \operatorname {Sh} (X)}$은 기하학적 사상을 이룬다.

집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$는 한원소 공간 위의 그로텐디크 토포스 ${\displaystyle \operatorname {Sh} (\{\bullet \})}$이다. 즉, 이는 한원소 토포스로 생각할 수 있다. 토포스와 기하학적 사상의 범주에서, 이는 끝 대상을 이룬다. 그로텐디크 토포스 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$에서 한원소 토포스 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$로 가는 유일한 기하학적 사상 ${\displaystyle (f_{!},f^{*},f_{*})}$은 다음과 같이 해석할 수 있다.

• 상수층 함자(영어: constant sheaf functor) ${\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Set} \to {\mathcal {X}}}$는 (만약 ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\operatorname {Sh} ({\mathcal {C}})}$라면) 집합 ${\displaystyle S}$를 상수층 ${\displaystyle {\underline {S}}}$으로 대응시킨다.
• 대역 단면 함자(영어: global section functor) ${\displaystyle f_{*}\colon {\mathcal {X}}\to \operatorname {Set} }$는 대상 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$를 (층으로 생각하였을 때) 대역 단면 집합 ${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(1_{\mathcal {C}},{\mathcal {F}})}$으로 대응시킨다. 여기서 ${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 끝 대상(="전체 집합")이다.

토포스 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$의 점(點, 영어: point)은 집합의 범주에서 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$로 가는 기하학적 사상 ${\displaystyle f\colon \operatorname {Set} \to {\mathcal {X}}}$이다.

공집합이 아닌 위상 공간은 하나 이상의 점을 갖지만, 점을 갖지 않는 자명하지 않는 토포스가 존재한다.^{[2]:412, §7.4[3]}

국소적으로 작은 토포스 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 속의 연결 대상(영어: connected object)은 사상 집합 함자

${\displaystyle \hom _{\mathcal {X}}(X,-)\colon {\mathcal {X}}\to \operatorname {Set} }$

가 모든 유한 쌍대극한을 보존시키는 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {X}}}$이다.

그로텐디크 토포스 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 그로텐디크 토포스를 국소 연결 토포스(영어: locally connected topos)라고 한다.

• 임의의 대상 ${\displaystyle A\in {\mathcal {X}}}$은 연결 대상들의 집합의 쌍대곱 ${\displaystyle \textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$으로 나타낼 수 있다.
• 유일한 기하학적 사상 ${\displaystyle {\mathcal {X}}\to \operatorname {Set} }$은 본질적 기하학적 사상이다.

국소 연결 토포스 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$에서 한원소 토포스 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$로 가는 (유일한) 본질적 기하학적 사상 ${\displaystyle (f_{!},f^{*},f_{*})}$에서 ${\displaystyle f_{!}}$은 다음과 같이 해석할 수 있다.

• 연결 성분 함자(영어: connected component functor) ${\displaystyle f_{!}\colon {\mathcal {X}}\to \operatorname {Set} }$는 대상 ${\displaystyle \textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$을 그 연결 성분의 집합 ${\displaystyle I}$로 대응시킨다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$는 국소 연결 공간이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Sh} (X)}$는 국소 연결 토포스이다.

연결 토포스(영어: connected topos) ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$는 그 상수층 함자 ${\displaystyle {\mathcal {X}}\to \operatorname {Set} }$가 충실충만한 함자인 토포스이다. 국소 연결 토포스 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 연결 토포스이다.
• 연결 성분 함자 ${\displaystyle {\mathcal {X}}\to \operatorname {Set} }$는 끝 대상을 보존한다. 즉, "공간 전체" ${\displaystyle 1_{\mathcal {X}}}$는 하나의 연결 성분을 갖는다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$는 연결 공간이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Sh} (X)}$는 연결 토포스이다.

그로텐디크 토포스에 대하여, 기본군의 개념을 정의할 수 있다.^{[4]:§4, 123} 이는 위상 공간의 기본군의 사유한 완비나, 스킴의 에탈 기본군을 일반화한다.

그로텐디크 토포스 ${\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}})}$가 주어졌을 때, 그 속에 국소 상수층들의 부분 범주 ${\displaystyle \operatorname {Sh_{locConst}} ({\mathcal {X}})\hookrightarrow \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}})}$를 정의할 수 있다. 그로텐디크 토포스 ${\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}})}$의 밑점(영어: base point)은 특정한 조건들을 만족시키는, 유한 집합의 범주로 가는 함자 ${\displaystyle B\colon \operatorname {Sh_{locConst}} ({\mathcal {X}})\to \operatorname {Set_{fin}} }$이다. (구체적으로, 이는 "사표현 가능 함자"(영어: pro-representable functor)이어야 한다.)

그로텐디크 토포스 ${\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}})}$의 밑점 ${\displaystyle B}$가 대상 ${\displaystyle P\in \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}})}$으로 표현된다고 하자. 그렇다면 그로텐디크 토포스 ${\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}})}$의, 밑점 ${\displaystyle B}$에서의 기본군 ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Sh} ({\mathcal {X}}),B)}$는 ${\displaystyle P}$의 자기 동형군 ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{\operatorname {Sh} ({\mathcal {X}})}(P)}$이다. 이는 항상 사유한군이며, 또한 범주의 동치

${\displaystyle \operatorname {Sh_{locConst}} ({\mathcal {X}})\simeq \pi _{1}(\operatorname {Sh} ({\mathcal {X}}),B){\text{-Set}}_{\operatorname {fin} }}$

가 존재한다. (우변은 사유한군 ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Sh} ({\mathcal {X}}),B)}$의 작용을 갖는 유한군들로 구성된 범주이다.)

두 토포스 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ 사이의 논리적 사상(영어: logical morphism) ${\displaystyle f\colon {\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$는 유한 극한과 멱대상을 보존하는 함자이다.

임의의 고차 논리 (유형 이론) 명제를 토포스 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 속에서 해석할 수 있다. 이를 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$의 미첼-베나부 언어(영어: Mitchell–Bénabou language)라고 하며,^[5]:§VI.5 이 언어 가운데 참인 명제들의 집합을 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$의 내적 논리(영어: internal logic)이라고 한다. 이 경우, 직관 논리의 모든 공리들이 성립하지만, 고전적 논리는 성립하지 않는다. 또한, 선택 공리(=모든 전사 사상은 분할 전사 사상) 역시 성립하지 않을 수 있다.

고전적 집합론은 집합의 토포스 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$의 논리학이다. 일반적으로, 그로텐디크 토포스 ${\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {C}})}$의 내적 논리에서 정의한 어떤 구조 ${\displaystyle S}$는 (외적 논리에서) "${\displaystyle S}$값의 층"에 대응한다. 예를 들어, ${\displaystyle \operatorname {Sh} ({\mathcal {C}})}$ 속에서 정의한 국소환은 사실 국소환 달린 공간을 정의한다. 만약 ${\displaystyle S}$가 대수 구조 다양체를 이룬다면 이렇게 내적 논리를 사용하지 않아도 된다 (즉, ${\displaystyle S}$의 범주 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle S}$값의 층은 층 조건을 만족시키는 준층 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {S}}}$와 같다). 그러나 ${\displaystyle S}$의 정의가 대수적이지 않을 때, "${\displaystyle S}$값의 층"은 "층 조건을 만족시키는 준층 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {S}}}$"과 다르며, 전자가 옳은 정의이다 (즉, 수학적으로 더 유용하다). 예를 들어, 국소환의 경우, 극대 아이디얼이 유일하다는 조건은 존재 기호 또는 전칭 기호를 필요로 하므로, 국소환의 개념은 대수 구조 다양체를 이루지 않는다.

 이 부분의 본문은 유형 이론입니다.

토포스 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$에서, 각 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {X}}}$은 형(영어: type)을 정의한다. 명제의 형은 부분 대상 분류자 ${\displaystyle \Omega }$이다. 토포스 속의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$는 형 ${\displaystyle X}$를 형 ${\displaystyle Y}$로 대응시키는 변환이다. 즉, 형 ${\displaystyle X}$의 매개변수를 갖는 형 ${\displaystyle Y}$의 대상이다. 특히, 형 ${\displaystyle X}$의 매개변수 ${\displaystyle x}$를 갖는 명제 ${\displaystyle \phi (x)}$는 사상 ${\displaystyle X\to \Omega }$에 대응한다. 부분 대상 분류자의 성질에 의하여, 이는 ${\displaystyle X}$의 부분 대상 ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Sub} (X)}$에 대응한다.

논리	토포스
형	대상
형 사이의 변환	사상
명제의 형	부분 대상 분류자 ${\displaystyle \Omega }$
(자유 변수가 없는) 명제	부분 대상 분류자의 부분 대상
형 ${\displaystyle X}$의 자유 변수 ${\displaystyle x}$를 갖는 명제 ${\displaystyle \phi (x)}$	사상 ${\displaystyle X\to \Omega }$ = ${\displaystyle X}$의 부분 대상
형 ${\displaystyle X}$의 자유 변수 ${\displaystyle x}$를 갖는 명제 ${\displaystyle \phi (x)}$의 형	지수 대상 ${\displaystyle \Omega ^{X}}$

명제의 형 ${\displaystyle \Omega }$ (또는 ${\displaystyle \Omega ^{X}}$)가 존재한다는 것은, 명제에 대하여 존재 기호 · 전칭 기호를 씌울 수 있음을 뜻한다. 즉, 토포스의 내적 논리는 고차 논리를 이룬다.

토포스 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$에서, 임의의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {X}}}$의 부분 대상 부분 순서 집합 ${\displaystyle \operatorname {Sub} (X)}$는 헤이팅 대수를 이룬다. (주어진 부분 순서 집합 위의 헤이팅 대수는 만약 존재한다면 유일하다. 부분 대상 분류자 ${\displaystyle \Omega }$의 존재에 의하여, 부분 대상 ${\displaystyle A\in \operatorname {Sub} (X)}$는 사상 ${\displaystyle A\to \Omega }$와 동치이다.)

논리	헤이팅 대수
명제	${\displaystyle \operatorname {Sub} (X)}$의 원소
참 ${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \operatorname {Sub} (X)}$의 최대 원소 ${\displaystyle \top \in \operatorname {Sub} (X)}$
거짓 ${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle \operatorname {Sub} (X)}$의 최소 원소 ${\displaystyle \bot \in \operatorname {Sub} (X)}$
논리합 ${\displaystyle \lor }$	${\displaystyle \operatorname {Sub} (X)}$의 두 원소의 이음 (상한) ${\displaystyle x\lor y}$
논리곱 ${\displaystyle \land }$	${\displaystyle \operatorname {Sub} (X)}$의 두 원소의 만남 (하한) ${\displaystyle x\land y}$
함의 ${\displaystyle x\implies y}$	헤이팅 대수의 함의 관계 ${\displaystyle x\implies y}$
부정 ${\displaystyle \lnot x}$	거짓의 함의 ${\displaystyle x\implies \bot }$

토포스에서, 임의의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 이로부터 유도되는 증가 함수

${\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Sub} (Y)\to \operatorname {Sub} (X)}$

를 생각하자. 부분 순서 집합을 작은 범주로 생각한다면, 토포스에서 이는 항상 왼쪽 수반 함자 및 오른쪽 수반 함자를 갖는다.

${\displaystyle \exists _{f}\dashv f^{*}\dashv \forall _{f}}$

이 경우, ${\displaystyle \exists _{f}}$는 존재 기호, ${\displaystyle \forall _{f}}$는 전칭 기호에 해당한다.

${\displaystyle A\subset X\to \{f(x)\colon \forall x\in X\colon f(x)\in A_{Y}\}}$

논리	집합	토포스
자유 변수 ${\displaystyle y\colon Y}$를 갖는 명제 ${\displaystyle \phi (y)}$ 및 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 주어졌을 때, 자유 변수 ${\displaystyle x\colon X}$를 갖는 명제 ${\displaystyle \phi (f(x))}$	부분 집합 ${\displaystyle \phi \subseteq Y}$ 및 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle \{x\in X\colon \phi _{Y}(f(x))\}}$	부분 대상 ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Sub} (Y)}$에 대하여, ${\displaystyle f^{*}\phi \in \operatorname {Sub} (X)}$
자유 변수 ${\displaystyle x\colon X}$, ${\displaystyle y\colon Y}$인 명제 ${\displaystyle \phi (x,y)}$에 대하여, ${\displaystyle \forall x\in X\colon \phi (x,y)}$	${\displaystyle \{y\in Y\colon \exists x\in X\colon \phi (x,y)\}}$	사영 ${\displaystyle \operatorname {proj} _{Y}\colon X\times Y\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle \forall _{\operatorname {proj} _{Y}}\phi }$
자유 변수 ${\displaystyle x\colon X}$, ${\displaystyle y\colon Y}$인 명제 ${\displaystyle \phi (x,y)}$에 대하여, ${\displaystyle \exists x\in X\colon \phi (x,y)}$	${\displaystyle \{y\in Y\colon \exists x\in X\colon \phi (x,y)\}}$	사영 ${\displaystyle \operatorname {proj} _{Y}\colon X\times Y\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle \exists _{\operatorname {proj} _{Y}}\phi }$

대상 ${\displaystyle X}$ 속의 부분 대상 ${\displaystyle a,b\in \operatorname {Sub} (X)}$

${\displaystyle a\colon A\hookrightarrow X}$

${\displaystyle b\colon B\hookrightarrow X}$

이 주어졌으며, 그 만남

${\displaystyle a\land b\colon A\land _{X}B\hookrightarrow X}$

이 주어졌을 때, 헤이팅 대수 ${\displaystyle \operatorname {Sub} (X)}$에서의 헤이팅 함의 관계 ${\displaystyle a\implies b}$는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle (a\implies b)=\forall _{a\land b}\top _{\operatorname {Sub} (A\land _{X}B)}\in \operatorname {Sub} (X)}$

여기서 ${\displaystyle \forall _{a\land b}\colon A\land _{X}B\to X}$는 부분 대상 ${\displaystyle a\land b\in \operatorname {Sub} (X)}$에 대응하는 단사 사상이며, ${\displaystyle \top _{\operatorname {Sub} (A\land _{X}B)}\in \operatorname {Sub} (A\land _{X}B)}$는 ${\displaystyle \operatorname {Sub} (A\land _{X}B)}$의 최대 원소이다.

토포스 위의 미첼-베나부 언어에 대하여, 크립키-주아얄 의미론(영어: Kripke–Joyal semantics)이라는 의미론이 존재한다.^[5]:§VI.6 이는 솔 크립키와 앙드레 주아얄이 도입하였다.

토포스의 공리들로부터, 다음과 같은 추가 성질들을 유도할 수 있다.

• 유한 완비 범주이다. 즉, 모든 유한 극한이 존재한다. 특히, 유한곱 ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}}$ 및 끝 대상 ${\displaystyle 1}$이 존재한다.
• 유한 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 유한 쌍대 극한(colimit)이 존재한다. 특히, 유한 쌍대곱 ${\displaystyle A_{1}\sqcup A_{2}\sqcup \cdots \sqcup A_{n}}$ 및 시작 대상 ${\displaystyle 0}$이 존재한다.
• 서로 비동형인 두 대상이 존재하는 토포스에서는 0과 1이 서로 동형이지 않다 (즉, 영 대상이 존재하지 않는다).
• 부분 대상 분류자 ${\displaystyle 2}$가 존재한다.
• 임의의 두 대상 ${\displaystyle A,B}$에 대하여, 지수 대상 ${\displaystyle A^{B}}$ (함수들의 집합과 유사한 역할을 하는 대상)이 존재한다. 특히, 멱대상 ${\displaystyle 2^{B}}$이 존재하며, 이에 대하여 모든 토포스는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.

그로텐디크 토포스는 토포스이며, 또한 다음과 같은 추가 성질을 가진다.

• 그로텐디크 토포스는 항상 자연수 대상(영어: natural numbers object)을 가지며, 이는 자연수 집합을 값으로 하는 상수층 ${\displaystyle {\underline {\mathbb {N} }}}$이다.

토포스의 예는 다음을 들 수 있다.

• 집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$
  • 이는 한 점으로 구성되는 공간 위의 (집합 값을 갖는) 층의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다.
• 유한 집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {FinSet} }$
  • 이는 그로텐디크 토포스가 아니다.
• 군 ${\displaystyle G}$의 작용을 갖춘 집합 및 작용에 호환되는 함수들의 범주 ${\displaystyle G{\text{-Set}}}$
• 작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에 대하여, 함자 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}}$
• 작은 위치 위의 (집합 값을 갖는) 층의 범주는 그로텐디크 토포스이며, 따라서 역시 토포스이다.
• 토포스 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {T}}}$에 대한 조각 범주 ${\displaystyle {\mathcal {T}}/X}$ 또한 토포스이다.

토포스의 개념은 알렉산더 그로텐디크가 대수기하학과 층 이론의 관점에서 1960년대에 도입하였다.^[6][7] 그로텐디크가 창안한 단어 프랑스어: topos 토포스^[*] (복수 프랑스어: topoï 토포이^[*])는 고대 그리스어: τόπος 토포스^[*](장소, 복수 고대 그리스어: τόποι 토포이^[*])에서 유래하였다.

프랜시스 윌리엄 로비어와 마일스 티어니(영어: Myles Tierney)는 수리논리학에 토포스의 개념을 응용하였고, 그로텐디크 토포스의 개념을 (기초적) 토포스로 일반화하였다.^[8] 지로 정리는 장 지로(프랑스어: Jean Giraud)가 증명하였다.

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