절댓값 (대수학)

대수학 및 대수적 수론에서 절댓값(絶對값, 영어: absolute value)은 정역의 원소의 크기를 측정하는 실수 함수이다. 초등 수학에서의 절댓값을 일반화한다.

정역 ${\displaystyle D}$ 위의 절댓값은 다음 조건들을 만족시키는 함수 ${\displaystyle |\cdot |\colon D\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$이다.^{[1]:116, Definition 3.1}

• 임의의 ${\displaystyle x\in D}$에 대하여, ${\displaystyle |x|=0\iff x=0}$
• 임의의 ${\displaystyle x,y\in D}$에 대하여, ${\displaystyle |xy|=|x||y|}$
• (삼각 부등식) 임의의 ${\displaystyle x,y\in D}$에 대하여, ${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$

정역 ${\displaystyle D}$ 위의 절댓값은 그 분수체 ${\displaystyle K=\operatorname {Frac} D}$ 위로 다음과 같이 확장할 수 있다.

${\displaystyle |x/y|=|x|/|y|\qquad \forall x,y\in D}$

절댓값을 갖춘 정역 ${\displaystyle (D,|\cdot |)}$ 위에는 다음과 같이 거리 함수를 정의하여, 거리 공간으로 만들 수 있다.

${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

절댓값의 공리에 따라, ${\displaystyle |1|=|-1|=1}$이다. 또한, 다음이 성립함을 보일 수 있다.

${\displaystyle |n|\leq n\qquad \forall n\in \mathbb {N} }$

정역 ${\displaystyle D}$ 위의 절댓값 ${\displaystyle |\cdot |}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 절댓값을 비아르키메데스 절댓값(영어: non-Archimedean absolute value)이라고 한다.

• (초거리 부등식) 임의의 ${\displaystyle x,y\in D}$에 대하여, ${\displaystyle |x+y|\leq \max\{|x|,|y|\}}$
• ${\displaystyle \{|\overbrace {1+1+\cdots +1} ^{n}|\colon n\in \mathbb {N} \}}$이 유계 집합이다.

비아르키메데스 절댓값이 아닌 절댓값을 아르키메데스 절댓값(영어: Archimedean absolute value)이라고 한다.

비아르키메데스 절댓값의 로그를 취하면, ${\displaystyle a\mapsto -\log |a|}$는 값매김을 이룬다. 반대로, 실수 덧셈군(의 부분군)을 값군으로 갖는 값매김 ${\displaystyle v}$가 주어졌다면, 그 지수 함수 ${\displaystyle a\mapsto \exp(-v(a))}$는 비아르키메데스 절댓값을 이룬다.

비아르키메데스 절댓값 ${\displaystyle |\cdot |}$을 갖춘 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 절댓값이 1 이하인 원소들은 값매김환을 이룬다. 이를 ${\displaystyle K}$의 ${\displaystyle |\cdot |}$에 대한 정수환(영어: ring of integers)이라고 한다.

같은 정역 ${\displaystyle D}$ 위의 두 절댓값 ${\displaystyle |\cdot |}$, ${\displaystyle |\cdot |'}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 두 절댓값들이 서로 동치라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in D}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle |x|<1}$이면 ${\displaystyle |x|'<1}$이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in D}$에 대하여, ${\displaystyle |x|<1}$과 ${\displaystyle |x|'<1}$이 동치이다.
• ${\displaystyle |\cdot |}$과 ${\displaystyle |\cdot |'}$은 ${\displaystyle D}$ 위에 같은 위상을 정의한다.
• ${\displaystyle |\cdot |=|\cdot |^{s}}$인 양의 실수 ${\displaystyle s\in \mathbb {R} ^{+}}$가 존재한다.

절댓값의 동치는 동치 관계이며, 이에 대한 자명하지 않은 동치류를 자리(영어: place)라고 한다.

절댓값을 갖춘 정역 ${\displaystyle D}$는 거리 공간을 이루므로, 코시 열을 정의할 수 있으며, 이들은 각 성분의 덧셈과 곱셈에 대하여 가환환을 이룬다. 절댓값들이 0으로 수렴하는 코시 열 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset D}$들은 코시 열들의 환의 소 아이디얼을 이루며, 따라서 그 몫환은 정역을 이룬다. 이 정역을 ${\displaystyle D}$의 절댓값 ${\displaystyle |\cdot |}$에 대한 완비화(영어: completion)라고 한다. 이는 거리 공간으로서의 완비화와 일치한다.

임의의 정역 ${\displaystyle D}$ 위의 자명 절댓값(영어: trivial absolute value)은 다음과 같다.

${\displaystyle |x|_{0}={\begin{cases}0&x=0\\1&x\neq 0\end{cases}}}$

유리수체와 실수체, 복소수체의 경우, 초등 수학의 절댓값은 대수적 절댓값을 이룬다.

${\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {R} }\colon x\mapsto {\begin{cases}x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}}}$

${\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {C} }\colon x+iy\mapsto {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

데데킨트 정역 ${\displaystyle D}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle D}$의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$에 대하여 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$진 절댓값(영어: ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-adic absolute value) ${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}}$은 ${\displaystyle D}$ 위의 절댓값이며, 다음과 같다.

${\displaystyle |x|_{\mathfrak {p}}={\begin{cases}0&x=0\\\exp(-n)&(x)={\mathfrak {p}}^{n}{\mathfrak {q}},\qquad {\mathfrak {p}}\nmid {\mathfrak {q}},\qquad n\in \mathbb {N} \end{cases}}}$

이는 물론 ${\displaystyle \operatorname {Frac} D}$ 위의 절댓값으로 확대할 수 있다.

오스트롭스키 정리(Островский定理, 영어: Ostrowski theorem)에 따르면, 대수적 수체 ${\displaystyle K}$ 위의 자리들의 목록은 다음과 같다.

• 자명 절댓값 ${\displaystyle |\cdot |_{0}}$과 동치인 자리. 이를 자명 자리(영어: trivial place)라고 한다.
• 대수적 정수환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$의 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$진 절댓값의 자리. 이를 유한 자리(영어: finite place)라고 한다.
• 실수로의 매장 ${\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {R} }$에 대하여, ${\displaystyle |\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {R} }\circ \iota }$. 여기서 ${\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {R} }}$는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 실 무한 자리(영어: real infinite place)라고 한다.
• 복소수로의 매장 ${\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {C} }$에 대하여 (${\displaystyle \iota (K)\not \subset \mathbb {R} }$), ${\displaystyle |\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {C} }\circ \iota }$. 여기서 ${\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {C} }}$는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, ${\displaystyle \iota }$와 ${\displaystyle {\bar {\iota }}}$는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 복소 무한 자리(영어: complex infinite place)라고 한다.

예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다.

• 자명 자리 ${\displaystyle |\cdot |_{0}}$
• 소수 ${\displaystyle p}$에 대하여, ${\displaystyle p}$진 자리 ${\displaystyle |\cdot |_{p}}$
• 하나의 실 무한 자리 ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$

겔판트-토른하임 정리(Гельфанд-Tornheim定理, 영어: Gelfand–Tornheim theorem)에 따르면, 아르키메데스 절댓값을 갖는 임의의 체는 복소수체의 부분체이며, 아르키메데스 절댓값은 이 복소 매장에 의하여 유도되는 절댓값과 동치이다.

대수적 수체 ${\displaystyle K}$의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환들의 교집합이다.^[2]:192

퀴르샤크 요제프가 1913년에 도입하였다.^[3]

• “Norm on a field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Valuation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Valuation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.