점렬 콤팩트 공간

위상 공간 ${\displaystyle X}$가 가산 콤팩트 공간이 아니라고 하자. 즉, 유한 부분 덮개를 갖지 않는, ${\displaystyle X}$의 가산 열린 덮개 ${\displaystyle \{U_{0},U_{1},\dots \}}$가 존재한다. 따라서, 임의의 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여,

${\displaystyle x_{n}\in X\setminus (U_{0}\cup \cdots \cup U_{n})}$

을 고를 수 있다. 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x\in U_{n}}$인 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$이 존재한다. 그런데, 임의의 ${\displaystyle i\geq n}$에 대하여 ${\displaystyle x_{i}\in U_{n}}$이다. 즉, ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }}$의 어떤 부분 점렬도 ${\displaystyle x}$로 수렴할 수 없다. 이는 임의의 ${\displaystyle x}$에 대한 것이므로, ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }}$의 수렴 부분 점렬은 존재하지 않는다. 즉, ${\displaystyle X}$는 점렬 콤팩트 공간이 아니다.

모든 제1 가산 가산 콤팩트 공간 ${\displaystyle X}$가 점렬 콤팩트 공간임을 보이는 것으로 충분하다. 임의의 점렬 ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }}$이 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle \{x_{0},x_{1},\dots \}}$이 유한 집합이라면,

${\displaystyle x=x_{n_{0}}=x_{n_{1}}=\cdots }$

인 ${\displaystyle x\in X}$ 및 ${\displaystyle n_{0}<n_{1}<\cdots }$이 존재하며, 이 경우 부분 점렬 ${\displaystyle (x_{n_{i}})_{i=0}^{\infty }}$은 ${\displaystyle x}$로 수렴한다. 만약 ${\displaystyle \{x_{0},x_{1},\dots \}}$이 무한 집합이라면, ${\displaystyle \{x_{0},x_{1},\dots \}}$의 ${\displaystyle \aleph _{0}}$-집적점 ${\displaystyle x\in X}$가 존재한다. ${\displaystyle x}$의 가산 국소 기저

${\displaystyle U_{0}\supseteq U_{1}\supseteq \cdots }$

를 잡자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle U_{i}\cap \{x_{0},x_{1},\dots \}}$은 무한 집합이다. 따라서,

${\displaystyle x_{n_{i}}\in U_{i}\qquad (\forall i\in \mathbb {N} )}$

인

${\displaystyle n_{0}<n_{1}<\cdots }$

이 존재한다. 이 경우, ${\displaystyle (x_{n_{i}})_{i=0}^{\infty }}$는 ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }}$의 부분 점렬이며, ${\displaystyle x}$로 수렴한다. 즉, ${\displaystyle X}$는 점렬 콤팩트 공간이다.

모든 제2 가산 공간은 제1 가산 공간이므로, 모든 제2 가산 가산 콤팩트 공간이 콤팩트 공간임을 보이는 것으로 족하다. 이는 다음 두 사실로부터 바로 따라나온다.

• 모든 린델뢰프 가산 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
• 모든 제2 가산 공간은 린델뢰프 공간이다.

직접적인 증명은 다음과 같다. 위상 공간 ${\displaystyle X}$의 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 주어졌을 때, 다음 두 조건이 동치임을 쉽게 보일 수 있다.

• ${\displaystyle X}$는 콤팩트 공간이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$의 임의의 부분 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다.

마찬가지로, 다음 두 조건이 동치임을 쉽게 보일 수 있다.

• ${\displaystyle X}$는 가산 콤팩트 공간이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$의 임의의 가산 부분 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다.

제2 가산 공간의 경우, 가산 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 존재하므로, 위 두 쌍의 조건은 동치가 된다.

다음 사실들로부터 따라나온다.

• 정규 하우스도르프 공간에 대하여, 가산 콤팩트 공간·극한점 콤팩트 공간·희박 콤팩트 공간·유사 콤팩트 공간의 개념은 서로 동치이다.
• 모든 콤팩트 공간 및 모든 점렬 콤팩트 공간은 가산 콤팩트 공간이다.
• 제1 가산 가산 콤팩트 공간은 점렬 콤팩트 공간이다.
• 파라콤팩트 가산 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
• 모든 거리화 가능 공간은 제1 가산 파라콤팩트 정규 하우스도르프 공간이다.

모든 점렬 콤팩트 거리 공간이 콤팩트 거리 공간임에 대한 한 가지 직접적인 증명은 다음과 같은 세 단계로 구성된다.

• 점렬 콤팩트 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$의 열린 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$는 항상 르베그 수를 갖는다.
  • 귀류법을 사용하여, ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$가 르베그 수를 갖지 않는다고 가정하자. 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle 1/n}$이 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$의 르베그 수가 아니므로, ${\displaystyle \operatorname {diam} Y_{n}<1/n}$이며 ${\displaystyle Y_{n}\not \subseteq U\forall U\in {\mathcal {U}}}$인 ${\displaystyle Y_{n}\subseteq X}$가 존재한다. ${\displaystyle y_{n}\in Y_{n}}$을 고르자. 그렇다면, ${\displaystyle (y_{n})_{n=0}^{\infty }}$의 어떤 부분 점렬 ${\displaystyle (y_{n_{i}})_{i=0}^{\infty }}$은 어떤 점 ${\displaystyle y\in X}$로 수렴한다. ${\displaystyle B(y,\epsilon )\subseteq U\in {\mathcal {U}}}$라고 하자. 그렇다면, 충분히 큰 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle 1/n_{i}<\epsilon /2}$이며 ${\displaystyle d(y_{n_{i}},y)<\epsilon /2}$이다. 따라서 ${\displaystyle Y_{n_{i}}\subseteq U}$이며, 이는 모순이다.
• 점렬 콤팩트 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$은 완전 유계 공간이다.
  • ${\displaystyle (X,d)}$가 완전 유계 공간이 아니라고 하자. 즉, 유한 개의 ${\displaystyle \epsilon }$-열린 공들로 구성된 덮개가 존재하지 않게 되는 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$이 존재한다. 그렇다면 ${\displaystyle x_{i}\in X\setminus (B(x_{0},\epsilon )\cup \cdots \cup B(x_{i-1},\epsilon ))}$인 점렬 ${\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq X}$을 재귀적으로 구성할 수 있다. 이 경우, 임의의 ${\displaystyle i\neq j}$에 대하여 ${\displaystyle d(x_{i},x_{j})\geq \epsilon }$이므로, ${\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }}$는 수렴 부분 점렬을 갖지 않는다. 즉, ${\displaystyle X}$는 점렬 콤팩트 공간이 아니다.
• 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$의 모든 열린 덮개가 르베그 수를 가지며, 완전 유계 공간이라면, 콤팩트 공간이다.
  • 임의의 열린 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$가 주어졌다고 하자. 가정에 따라 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$의 르베그 수 ${\displaystyle \delta >0}$이 존재한다. 완전 유계성에 따라, ${\displaystyle X=B(x_{1},\delta )\cup \cdots \cup B(x_{n},\delta )}$인 유한 집합 ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subseteq X}$가 존재한다. 임의의 ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$에 대하여, ${\displaystyle B(x_{i},\delta )\subseteq U_{i}}$인 ${\displaystyle U_{i}\in {\mathcal {U}}}$를 고르자. 그렇다면, ${\displaystyle \{U_{1},\dots ,U_{n}\}}$은 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$의 유한 부분 덮개이다. 즉, ${\displaystyle (X,d)}$는 콤팩트 공간이다.