카소라티-바이어슈트라스 정리

복소해석학에서 카소라티-바이어슈트라스 정리(-定理, 영어: Casorati-Weierstrass theorem)는 주어진 함수의 본질적 특이점 주위에서의 성질을 다루는 정리이다. 피카르의 대정리는 이 정리의 결론을 강화한다.

연결 열린집합 ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ 및 점 ${\displaystyle z_{0}\in D}$가 주어졌고, 정칙 함수 ${\displaystyle f\colon D\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C} }$가 ${\displaystyle z_{0}}$을 본질적 특이점으로 갖는다고 하자. 그렇다면, 임의의 근방 ${\displaystyle z_{0}\in U\subseteq D}$에 대하여, ${\displaystyle f(U\setminus \{z_{0}\})}$는 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$의 조밀 집합이다.

귀류법을 사용하여, ${\displaystyle f(U\setminus \{z_{0}\})}$가 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$의 조밀 집합이 아니라고 가정하자. 그렇다면, ${\displaystyle w_{0}\in {\widehat {\mathbb {C} }}\setminus \operatorname {cl} f(U\setminus \{z_{0}\})}$가 존재한다. 편의상 ${\displaystyle w_{0}\neq {\widehat {\infty }}}$라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle \operatorname {B} (w_{0},\epsilon )\subseteq \mathbb {C} \setminus f(U\setminus \{z_{0}\})}$

인 ${\displaystyle \epsilon >0}$이 존재한다. 다음과 같은 함수 ${\displaystyle g\colon U\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C} }$를 정의하자.

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-w_{0}}}\qquad \forall z\in U\setminus \{z_{0}\}}$

그렇다면, 임의의 ${\displaystyle z\in U\setminus \{z_{0}\}}$에 대하여,

${\displaystyle |g(z)|\leq {\frac {1}{\epsilon }}}$

이므로, ${\displaystyle g}$는 유계 함수이다. 또한, ${\displaystyle g}$는 정칙 함수이므로, ${\displaystyle z_{0}}$은 ${\displaystyle g}$의 제거 가능 특이점이다. 따라서, ${\displaystyle z_{0}}$은

${\displaystyle f=w_{0}+{\frac {1}{g}}}$

의 제거 가능 특이점이거나, 극점이다. 이는 모순이다.

• “Casorati-Sokhotskii-Weierstrass theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Weierstrass-Casorati theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.