코시-리만 방정식

복소해석학에서 코시-리만 방정식(-方程式, 영어: Cauchy–Riemann equations)은 열린 집합에서 정의된 복소함수가 정칙함수일 필요충분조건인 연립 편미분 방정식이다.

평면에서 정의된 두 실함수 ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ 에 대한 코시-리만 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}}$

복소 평면 위의 열린 집합 ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ 위의 함수 ${\displaystyle u,v\colon U\to \mathbb {R} }$가 다음을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle \partial u/\partial x}$, ${\displaystyle \partial u/\partial y}$, ${\displaystyle \partial v/\partial x}$, ${\displaystyle \partial v/\partial y}$가 모두 존재한다.
• ${\displaystyle u+iv\colon U\to \mathbb {C} }$는 연속 함수이다.

루만-멘코프 정리(Looman-Menchoff theorem)에 따르면 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:p. 7}

• ${\displaystyle u}$와 ${\displaystyle v}$는 ${\displaystyle U}$ 위에서 코시-리만 방정식을 만족시킨다.
• ${\displaystyle u+iv\colon U\to \mathbb {C} }$는 ${\displaystyle U}$ 위에서 정칙함수이다.

반면, 예를 들어 함수

${\displaystyle z\mapsto {\begin{cases}\exp(-z^{-4})&z\neq 0\\0&z=0\end{cases}}}$

는 복소 평면 전체에서 코시-리만 방정식을 만족시키지만, ${\displaystyle z=0}$에서 연속 함수가 아니므로 ${\displaystyle z=0}$에서 정칙 함수가 아니다.

오귀스탱 루이 코시와 베른하르트 리만의 이름을 땄다. 역사적으로, 장 르 롱 달랑베르가 1752년 유체역학을 연구하면서 처음 발견하였다.^[2] 이후 레온하르트 오일러가 이 방정식과 해석함수와의 관계를 연구하였다.^[3][4] 코시는 그의 함수론을 체계화하면서 이 방정식을 사용하였고,^{[5]:319–506} 리만은 박사 학위 논문에서 코시-리만 방정식을 다뤘다.^[6]

• 모레라 정리

• Gray, J. D.; Morris, S. A. (1978년 4월). “When is a function that satisfies the Cauchy–Riemann equations analytic?”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 85 (4): 246–256. MR 0470179. Zbl 0416.30002. 

• “Cauchy-Riemann equations”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cauchy-Riemann equations”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.