모레라 정리

복소해석학에서 모레라 정리(-定理, 영어: Morera's theorem)는 단일 연결 열린집합에 정의된 복소 연속 함수에 대하여, 정칙 함수와 경로 무관성이 동치라는 정리이다.

모레라 정리에 따르면, 연결 열린집합 ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$에 정의된 연속 함수 ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f}$는 정칙 함수이다.
• 임의의 조각마다 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 닫힌 곡선 ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to D}$에 대하여, ${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=0}$
• 임의의 삼각형 열린집합 ${\displaystyle T\subseteq D}$에 대하여, ${\displaystyle \int _{\partial T}f(z)\mathrm {d} z=0}$

특히, ${\displaystyle D}$가 단일 연결 열린집합이라면, ${\displaystyle f}$가 정칙 함수인 것과 경로 적분이 경로에 의존하지 않는 것은 동치이다.

코시 적분 정리에 의하여, 후자가 전자를 함의하는 것을 보이는 것으로 족하다.^[1]:91-92

임의의 ${\displaystyle w_{0}\in D}$를 취하자. 그렇다면, ${\displaystyle f}$가 어떤 볼록 열린 근방 ${\displaystyle w_{0}\in {\tilde {D}}\subseteq D}$에서 정칙 함수임을 보이는 것으로 족하다. (${\displaystyle {\tilde {D}}}$는 볼록 집합이므로 단일 연결 집합이다.)

함수 ${\displaystyle F\colon {\tilde {D}}\to \mathbb {C} }$를

${\displaystyle F(w)=\int _{[w_{0},w]}f(z)\mathrm {d} z\qquad \forall w\in {\tilde {D}}}$

와 같이 정의하자. 여기서 ${\displaystyle [w_{0},w]\subseteq {\tilde {D}}}$는 ${\displaystyle w_{0}}$와 ${\displaystyle w}$ 사이의 닫힌 선분이다. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle w\in {\tilde {D}}}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{w'\to w}{\frac {F(w')-F(w)}{w'-w}}&=\lim _{w'\to w}\int _{[w,w']}{\frac {f(z)}{w'-w}}\mathrm {d} z\\&=\lim _{w'\to w}\int _{0}^{1}f(w+t(w'-w))\mathrm {d} t\\&=f(w)\end{aligned}}}$

즉, 임의의 ${\displaystyle w\in {\tilde {D}}}$에 대하여, ${\displaystyle F'(w)=f(w)}$이다. 따라서 ${\displaystyle F}$는 ${\displaystyle {\tilde {D}}}$에서 정칙 함수이며, 그 도함수 ${\displaystyle f}$ 역시 ${\displaystyle {\tilde {D}}}$에서 정칙 함수이다.

모레라 정리는 일부 함수들이 정칙 함수라는 것을 증명하는 데 사용된다.

연결 열린집합 ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$에 정의된 정칙 함수열 ${\displaystyle f_{n}\colon D\to \mathbb {C} }$가 함수 ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$로 콤팩트 수렴한다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle f}$ 역시 정칙 함수이다.

임의의 ${\displaystyle z_{0}\in D}$를 취하고, ${\displaystyle 0<r<d(z_{0},\partial D)}$를 취하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(z_{0},r)\subseteq D}$이며, 이는 콤팩트 집합이므로, ${\displaystyle f_{n}}$은 ${\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(z_{0},r)}$에서 ${\displaystyle f}$로 균등 수렴한다. 따라서, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(z_{0},r)}$에서 연속 함수이며, 임의의 조각마다 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 닫힌 곡선 ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to {\bar {\operatorname {B} }}(z_{0},r)}$에 대하여,

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=\lim _{n\to \infty }\int _{\gamma }f_{n}(z)\mathrm {d} z=0}$

이다. 모든 삼각형은 조각마다 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 닫힌 곡선이므로, 모레라 정리에 의하여, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(z_{0},r)}$에서 정칙 함수이다.

리만 제타 함수 ${\displaystyle \zeta }$는

${\displaystyle D=\{s\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} s>1\}}$

에서 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\qquad \forall s\in D}$

이 급수는 바이어슈트라스 M-판정법에 따라 ${\displaystyle D}$에서 콤팩트 수렴하며, 각 ${\displaystyle s\mapsto 1/n^{s}}$는 정칙 함수이므로, 임의의 조각마다 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 곡선 ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to D}$에 대하여,

${\displaystyle \int _{\gamma }\zeta (s)\mathrm {d} s=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\gamma }{\frac {1}{n^{s}}}\mathrm {d} s=0}$

이다. 모레라 정리에 의하여, ${\displaystyle \zeta }$는 ${\displaystyle D}$에서 정칙 함수이다.

감마 함수 ${\displaystyle \Gamma }$는

${\displaystyle D=\{s\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} s>0\}}$

에서 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}\mathrm {d} x}$

각 ${\displaystyle s\mapsto x^{s-1}}$는 정칙 함수이다. 따라서, 푸비니 정리에 의하여, 임의의 조각마다 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 곡선 ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to D}$에 대하여,

${\displaystyle \int _{\gamma }\Gamma (s)\mathrm {d} s=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\mathrm {d} x\int _{\gamma }x^{s-1}\mathrm {d} s=0}$

이다. 모레라 정리에 의하여, ${\displaystyle \Gamma }$는 ${\displaystyle D}$에서 정칙 함수이다.

• 코시-리만 방정식
• 유수 (복소해석학)
• 미타그레플레르 정리

• “Morera theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Morera's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.