클리퍼드 가군 다발

미분기하학에서 클리퍼드 가군 다발(Clifford加群다발, 영어: Clifford module bundle)은 각 올이 (클리퍼드 다발의 올인) 클리퍼드 대수의 가군의 구조를 갖는 벡터 다발이다.^[1]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 클리퍼드 다발 ${\displaystyle C}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 벡터 다발 ${\displaystyle E}$

만약 각 ${\displaystyle x\in M}$에서, ${\displaystyle C_{x}}$의 ${\displaystyle E_{x}}$ 위의 작용이 주어져 ${\displaystyle E_{x}}$가 ${\displaystyle C_{x}}$의 위상 왼쪽 가군이 되며, 그 작용이 모두 연속적이라면, ${\displaystyle E}$를 ${\displaystyle C}$의 클리퍼드 가군 다발(영어: Clifford module bundle)이라고 한다. 물론, 마찬가지로 매끄러운 클리퍼드 가군 다발을 정의할 수 있다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$
• 매끄러운 클리퍼드 다발 ${\displaystyle C}$ 및 그 위의 클리퍼드 다발 접속 ${\displaystyle \nabla ^{C}}$
• ${\displaystyle C}$의 매끄러운 클리퍼드 왼쪽 가군 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$
• ${\displaystyle E}$ 위의 코쥘 접속 ${\displaystyle \nabla ^{E}}$

만약 ${\displaystyle \nabla ^{E}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 클리퍼드 가군 다발 접속(영어: Clifford module bundle connection)이라고 한다. 임의의 ${\displaystyle a\in \Gamma ^{\infty }(C)}$ 및 벡터장 ${\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)}$ 및 매끄러운 단면 ${\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E)}$에 대하여,

${\displaystyle (\nabla _{X}^{E})(a\bullet s)-a\bullet \nabla _{X}^{E}s=(\nabla _{X}^{C}a)\bullet s}$

즉, 클리퍼드 접속은 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는 코쥘 접속이다.

같은 클리퍼드 다발 위의 두 클리퍼드 가군 다발의 직합은 역시 클리퍼드 가군 다발이다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 클리퍼드 다발 ${\displaystyle C}$
• ${\displaystyle C}$ 위의 클리퍼드 가군 다발 ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle F}$

그렇다면, ${\displaystyle E\otimes F}$ 위에는 표준적인 클리퍼드 가군 다발 구조가 다음과 같이 존재한다.

${\displaystyle c\bullet (e\otimes f)=(x\bullet e)\otimes f\qquad \forall x\in M,\;c\in C_{x},\;e\in E_{x},\;f\in F_{x}}$

특히, ${\displaystyle F}$가 (실수 또는 복소수) 선다발일 경우가 자주 사용된다.

준 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$가 주어졌을 때, 그 접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} M}$에 대한 클리퍼드 다발 ${\displaystyle \operatorname {Cl} (\mathrm {T} M,g)\cong \operatorname {Cl} (\mathrm {T} ^{*}M,g^{-1})}$이 존재한다. 만약 ${\displaystyle (M,g)}$에 스핀 다양체의 구조가 주어졌다면, 그 스피너 다발 ${\displaystyle \mathrm {S} M}$은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 이 경우 레비치비타 접속을 통해 ${\displaystyle \mathrm {S} M}$ 위의 클리퍼드 가군 다발 접속을 정의할 수 있다. 만약 ${\displaystyle M}$이 짝수 차원이라면, 스피너 다발은 바일 스피너 다발

${\displaystyle \mathrm {S} M=\mathrm {S} ^{+}M\oplus \mathrm {S} ^{-}M}$

으로 분해되며, 이 역시 각각 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 또한, 적절한 부호수에서 마요라나(-바일) 스피너 다발을 정의할 수 있으며, 이 역시 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

이 경우, 레비치비타 접속을 ${\displaystyle \mathrm {S} M}$ 위로 자연스럽게 확장할 수 있으며, 이는 클리퍼드 가군 다발 접속을 이룬다. 만약 ${\displaystyle (M,g)}$ 위에 스핀 구조가 주어졌을 때, 스피너 다발 ${\displaystyle \mathrm {S} M}$은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

보다 일반적으로, ${\displaystyle (M,g)}$ 위의 스핀C 다양체 구조가 주어졌다면, 이에 대한 스피너 다발은 역시 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E}$가 주어졌다면, ${\displaystyle E\oplus E^{*}}$ 위의 자연스러운 이차 형식

${\displaystyle Q(x,\xi )=\xi (x)}$

을 통해 클리퍼드 다발 ${\displaystyle \operatorname {Cl} (E\oplus E^{*},Q)}$을 정의할 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle E\oplus E^{*}}$의 단면은 임의의 미분 형식 ${\displaystyle \alpha \in \Gamma (\textstyle \bigwedge E^{*})}$ 위에 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle (x,\xi )\bullet \alpha =x\lrcorner \alpha +\xi \wedge \alpha \in \Gamma \left(\bigwedge E^{*}\right)}$

여기서 ${\displaystyle \lrcorner }$는 내부곱이며 ${\displaystyle \wedge }$는 쐐기곱이다. 이 작용은

${\displaystyle (x,\xi )\bullet ((x,\xi )\bullet \alpha )=x\lrcorner (\xi \wedge \alpha )-\xi \wedge (x\lrcorner \alpha )=\xi (x)\alpha }$

를 따르므로, ${\displaystyle \textstyle \bigwedge E^{*}}$은 ${\displaystyle \operatorname {Cl} (E\oplus E^{*})}$ 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

특히, ${\displaystyle E=\mathrm {T} M}$인 경우, 미분 형식은 이 클리퍼드 다발의 일종의 ‘스피너’처럼 행동하는 것을 알 수 있다.

• 스핀 표현

• “Clifford module bundle”. 《nLab》 (영어).