킬링 형식

리 군 이론에서, 킬링 형식(Killing形式, 영어: Killing form)은 리 대수 위에 자연스럽게 존재하는 대칭 쌍선형 형식이다.^[1][2] 리 대수의 딸림표현의 곱의 대각합이다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 주어졌다고 하고, 또한 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 유한 차원 ${\displaystyle K}$-자유 가군이라고 하자. 이제, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 딸림표현

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}};k)}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (x)\colon y\mapsto [x,y]}$

를 생각하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 킬링 형식

${\displaystyle B\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to K}$

는 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식이다.

${\displaystyle B(a,b)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {ad} (a)\operatorname {ad} (b)\right)}$

여기서 대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

보다 일반적으로, 체 ${\displaystyle K}$ 위의 리 초대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 주어졌다고 하고, 또한 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 유한 차원 ${\displaystyle K}$-초벡터 공간이라고 하자. 이제, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 딸림표현

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}};K)}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (x)\colon y\mapsto [x,y\}}$

를 생각하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 킬링 형식

${\displaystyle B\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to K}$

는 다음과 같은 쌍선형 형식이다.^[3]:§23

${\displaystyle B(a,b)=\operatorname {str} \left(\operatorname {ad} (a)\operatorname {ad} (b)\right)}$

여기서 초대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

체 위의 유한 차원 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 기저 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$를 잡고, 이에 대한 구조 상수가

${\displaystyle [x_{i},x_{j}]=f_{ij}{}^{k}x_{k}}$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 킬링 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle B(x_{i},x_{j})=B_{ij}=\sum _{k}\sum _{l}f_{ik}{}^{l}f_{jl}{}^{k}}$

킬링 형식은 대각합의 순환성(${\displaystyle \operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (YX)}$)에 의하여 대칭 쌍선형 형식을 이룬다.

킬링 형식은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.

${\displaystyle B([x,y],z)=B(x,[y,z])}$

체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 리 초대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 킬링 형식 ${\displaystyle B}$는 다음과 같은 성질을 갖는다.^[3]:§23

${\displaystyle B({\mathfrak {g}}_{0},{\mathfrak {g}}_{1})=0}$

${\displaystyle B(x,y)=(-)^{\deg x\deg y}B(y,x)\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}_{0}\cup {\mathfrak {g}}_{1}}$

${\displaystyle B([x,y\},z)=B(x,[y,z\})\qquad \forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}}$

단순 리 대수의 경우와 달리, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수는 킬링 형식이 0일 수 있다. 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수 가운데, 킬링 형식이 0인 것은 다음과 같다.^[3]:§23

• ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n|n)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(2n+2|2n)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}(n)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}$

나머지 단순 리 초대수는 모두 0이 아닌 킬링 형식을 갖는다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 두 유한 차원 리 (초)대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'}$에 대하여, 그 직합 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}'}$의 킬링 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle B_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}'}(x\oplus x',y\oplus y')=B_{\mathfrak {g}}(x,y)+B_{\mathfrak {h}}(x',y')\qquad (x,y\in {\mathfrak {g}},\;x',y'\in {\mathfrak {g}}')}$

만약 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 단순 리 대수라면 위 항등식을 만족하는 모든 형식은 킬링 형식의 스칼라배이다.

리 대수가 반단순 리 대수인 필요 충분 조건은 그 킬링 형식이 비퇴화 쌍선형 형식인 것이다. 이를 카르탕 조건(Cartan條件, 영어: Cartan criterion)이라고 한다.

실수체 위의 콤팩트 리 대수의 킬링 형식은 항상 음의 정부호 쌍선형 형식이다.

임의의 체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 아벨 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 킬링 형식은 항상 0이다.

임의의 체 ${\displaystyle K}$ 및 자연수 ${\displaystyle n}$에 대하여, 일반 선형 리 대수 ${\displaystyle \operatorname {\mathfrak {gl}} (n;K)}$의 킬링 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle B_{{\mathfrak {gl}}(n)}(X,Y)=2n\operatorname {tr} (XY)-2\operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)}$

또한, 특수 선형 리 대수 ${\displaystyle \operatorname {\mathfrak {sl}} (n;K)}$의 킬링 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle B_{{\mathfrak {sl}}(n)}(X,Y)=2n\operatorname {tr} (XY)}$

행렬 리 대수의 경우, 킬링 형식은 다음과 같다.

단순 리 대수의 경우, 통상적으로 계량을 긴 근의 길이가 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$가 되게 규격화한다.^{[4]:27[5]:§13.1.10} 이 경우 짧은 근의 길이는 B_n, C_n, F₄인 경우 1 또는 G₂의 경우 ${\displaystyle {\sqrt {2/3}}}$이다. 이렇게 규격화할 경우, 계량 형식은 다음과 같다.^[6]

이렇게 계량 형식을 규격화하면, 3차원 초구로부터의 임의의 연속 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{3}\to G}$에 대하여 항상

${\displaystyle {\frac {1}{48\pi }}\int _{G}\langle g^{-1}dg,[g^{-1}dg,g^{-1}dg]\rangle \in \mathbb {Z} }$

이다.^[6]

이렇게 규격화한 계량 형식을 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$로 놓으면,

${\displaystyle K=-2h^{\vee }\langle \cdot ,\cdot \rangle }$

이다.^{[7]:§6.1[5]:§13.1.2} 여기서 ${\displaystyle h^{\vee }}$는 단순 리 대수의 이중 콕서터 수(영어: dual Coxeter number)이다. (이는 빅토르 카츠가 도입하였고, 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터의 이름을 땄다.) 이는 다음 표와 같다.

엘리 카르탕이 1894년에 도입하였다.^[8] 독일 수학자 빌헬름 킬링의 이름을 땄다.

• 킬링 벡터장

• “Killing form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Killing form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Killing form”. 《nLab》 (영어). 
• “What role does the “dual Coxeter number” play in Lie theory (and should it be called the “Kac number”)?” (영어). Math Overflow.