현수 (위상수학)

대수적 위상수학에서, 위상 공간의 현수(懸垂, 영어: suspension)는 그 위상 공간에 단위 폐구간을 곱해, 양 끝을 각각 한 점으로 치환한 몫공간이다. 관련된 개념으로, 축소 현수(縮小懸垂, 영어: reduced suspension)는 현수보다 더 많은 점들을 동일화시킨 몫공간이다.

호몰로지와 호모토피 군 등 대수적 위상수학에서 쓰이는 개념들은 (축소) 현수에 대하여 자연스러운 성질들을 보인다.

${\displaystyle X}$가 위상 공간이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle X}$의 현수 ${\displaystyle \mathrm {S} X}$는 다음과 같은 몫공간이다.

${\displaystyle \mathrm {S} X=(X\times [0,1]/(X\times \{0\}))/(X\times \{1\})}$

여기서 ${\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }$은 표준적인 위상이 주어진 단위 폐구간이다. 즉, 곱공간 ${\displaystyle X\times [0,1]}$에서 양 끝 ${\displaystyle X\times \{0\},X\times \{1\}\subset X\times [0,1]}$을 각각 하나의 점으로 동일화시킨 몫공간이다. 만약 연속함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 존재한다면, 마찬가지로 자연스럽게 그 정의역과 공역의 현수들 사이의 연속함수

${\displaystyle \mathrm {S} f\colon \mathrm {S} X\to \mathrm {S} Y}$

${\displaystyle \mathrm {S} f\colon (x,r)\in \mathrm {S} X\mapsto (f(x),r)\in \mathrm {S} Y}$

가 존재한다. 이에 따라, 현수는 위상 공간들과 연속 함수들의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$의 자기 함자

${\displaystyle \mathrm {S} \colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Top} }$

를 이룬다.

${\displaystyle (X,x_{0})}$가 점을 가진 공간이라고 하자. 그 축소 현수 ${\displaystyle \Sigma X}$는 다음과 같은 몫공간이다.

${\displaystyle \Sigma X=X\wedge \mathbb {S} ^{1}=X\times \mathbb {S} ^{1}/(X\vee \mathbb {S} ^{1})=X\times [0,1]/(X\times \{0,1\}\cup \{x_{0}\}\times [0,1])}$

여기서 ${\displaystyle \wedge }$는 분쇄곱이고, ${\displaystyle \vee }$는 쐐기합이며, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$은 원이다. 점을 가진 공간의 축소 현수는 자연스러운 밑점 ${\displaystyle X\vee \mathbb {S} ^{1}\subset \Sigma X}$을 가진다.

현수와 마찬가지로, 밑점을 보존시키는 연속함수 ${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$가 주어지면, 밑점을 보존시키는 연속함수

${\displaystyle \Sigma f\colon \Sigma X\to \Sigma Y}$

가 존재한다. 이에 따라, 축소 현수는 점을 가진 공간들과 점을 보존시키는 연속 함수들의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} _{\bullet }}$의 자기 함자

${\displaystyle \Sigma \colon \operatorname {Top} _{\bullet }\to \operatorname {Top} _{\bullet }}$

를 이룬다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 고리 공간 함자 ${\displaystyle \Omega X}$이다.

CW 복합체 ${\displaystyle X}$의 경우, 현수와 축소 현수는 서로 호모토피 동치이다.

${\displaystyle \operatorname {S} X\simeq \Sigma X}$

${\displaystyle X}$가 점을 갖는 CW 복합체이며, ${\displaystyle n}$차 이하 호모토피 군이 자명하다고 하자. 그렇다면 함수

${\displaystyle X\to \Omega (\Sigma X)}$

로 인하여, 호모토피 군의 준동형

${\displaystyle \pi _{\bullet }(X)\to \pi _{\bullet }(\Omega (\Sigma X))\cong \pi _{\bullet +1}(\Sigma X)}$

이 존재한다. 프로이덴탈 현수 정리에 따르면, 이 준동형 사상은 ${\displaystyle \bullet \leq 2n}$일 경우는 동형이며, ${\displaystyle \bullet =2n+1}$일 경우는 전사이다.

프로이덴탈 현수 정리에 따라서, 만약 ${\displaystyle X}$가 n-연결 공간일 경우, ${\displaystyle \Sigma ^{k}X}$는 ${\displaystyle (n+k)}$-연결 공간이다. 이에 따라, 충분히 많은 현수를 취한다면, 프로이덴탈 현수 정리의 호모토피 군 준동형들이 동형이 된다. ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle \bullet }$차 안정 호모토피 군(영어: stable homotopy group)은 충분히 큰 ${\displaystyle k}$에 대한

${\displaystyle \pi _{\bullet +k}(\Sigma ^{k}X)}$

이다.

${\displaystyle n}$차원 초구의 현수는 ${\displaystyle n+1}$차원 초구와 위상 동형이며, 축소 현수는 이와 호모토피 동치이지만 위상 동형이 아니다.

${\displaystyle \Sigma \mathbb {S} ^{n}\simeq \mathrm {S} \mathbb {S} ^{n}\cong \mathbb {S} ^{n+1}}$

프로이덴탈 현수 정리는 1928년에 한스 프로이덴탈이 증명하였다.^[1]

• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic Topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. 

• “Suspension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Suspension”. 《nLab》 (영어). 
• “Reduced suspension”. 《nLab》 (영어). 
• “Suspension object”. 《nLab》 (영어). 
• “Freudenthal suspension theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Suspension”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Reduced suspension”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Homology for suspension”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Suspension functor”. 《Topospaces》 (영어). 

• 고리 공간
• 안정 호모토피 이론