힐베르트 기저 정리

가환대수학에서 힐베르트 기저 정리(Hilbert基底定理, 영어: Hilbert’s basis theorem, 독일어: Hilberter Basissatz 힐베르터 바지스자츠^[*])는 뇌터 환을 계수로 하는 다항식환은 뇌터 환이라는 정리이다. 대수기하학에서, 이는 모든 아핀 대수 집합을 유한개의 대수 방정식들로 정의할 수 있음을 의미한다.

${\displaystyle R}$가 (곱셈 항등원을 갖는) 가환환이라고 하고, ${\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$이 ${\displaystyle R}$를 계수로 하는, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$개의 부정원(不定元)에 대한 다항식환이라고 하자. 힐베르트 기저 정리에 따르면, 만약 ${\displaystyle R}$가 뇌터 환이라면, ${\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$역시 뇌터 환이다.

힐베르트 기저 정리는 대수기하학에서 핵심적인 역할을 한다. ${\displaystyle K}$가 체라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle K}$에 대한 ${\displaystyle n}$차원 아핀 공간의 좌표환은 ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$이다.

모든 체는 자명하게 뇌터 환이므로, 힐베르트 기저 정리에 따라서 아핀 공간의 좌표환 역시 뇌터 환을 이룬다. 아핀 대수 집합은 좌표환 ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$의 아이디얼로 정의되는데, 뇌터 환에서는 모든 아이디얼이 유한생성되므로, 따라서 모든 아핀 대수 집합 ${\displaystyle V}$는 유한개의 다항식들 ${\displaystyle \{p_{1},\dots ,p_{m}\}\subset K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$이 모두 0이 되는 점들의 집합으로 정의할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle V=\{x\in \mathbb {A} _{K}^{n}\colon 0=p_{1}(x)=p_{2}(x)=\cdots =p_{m}(x)\}}$

힐베르트 기저 정리는 보통 귀류법으로 증명하기 때문에, 기저 정리로만은 이 ${\displaystyle p_{i}}$들을 계산할 수 없으며, 이들을 계산하려면 그뢰브너 기저를 사용할 수 있다.

다비트 힐베르트가 1890년에 ${\displaystyle R}$가 체인 경우를 증명하였다.^[1]

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert basis theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Hilbert's Basis Theorem”. 《ProofWiki》 (영어).