1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

A graph depicting the series with layered boxes

급수 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯를 겹겹이 쌓인 상자로 묘사한 그래프

A graph depicting the smoothed series with layered curving stripes

평활화 후

y축 바로 아래로 내려가는 선을 보여주는 그래프 — 평활화의 점근적 거동. 선의 y절편은 −⁠1/2⁠이다.^[1]

수학에서 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯는 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{0}$ , $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }1^{n}$ , 또는 단순히 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }1$ 로도 쓰이며, 발산 급수이다. 그럼에도 불구하고, 특히 물리학에서는 이 값이 $-{\tfrac {1}{2}}$ 인 것으로 간주되기도 한다. 이 값은 제타 함수 조절을 포함하여 발산 급수에서 값을 얻는 특정 수학적 방법을 통해 정당화될 수 있다.

발산 급수로서

1 + 1 + 1 + 1 + ⋯는 부분합의 수열이 실수에서 극한으로 수렴하지 않는다는 의미의 발산 급수이다.

수열 1^$n$은 공비 1을 갖는 등비급수로 생각할 수 있다. 공비가 −1인 그란디 급수와 공비가 2인 급수 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯를 포함한 다른 발산 등비급수의 경우, 밑이 1이고 공비가 $r$ 인 등비급수의 합에 대한 일반 해를 사용하여 ${\tfrac {1}{1-r}}$ 를 얻을 수 있지만, 이 합산 방법은 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯에는 적용되지 않으며, 0으로 나누기를 발생시킨다.

그란디 급수와 함께, 이것은 유리수 공비를 가지며 실수 및 모든 P진수 시스템에서 발산하는 두 가지 등비급수 중 하나이다.

확장된 실수의 맥락에서

\sum _{n=1}^{\infty }1=+\infty \,,

부분합의 수열이 단조적으로 무한히 증가하기 때문이다.

제타 함수 조절

이론물리학 응용에서 $n 0$ 의 합이 나타날 때, 이는 때때로 제타 함수 조절에 의해 리만 제타 함수의 $s = 0$ 에서의 값으로 해석될 수 있다.

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,.

위에 제시된 두 공식은 0에서는 유효하지 않지만, 해석적 연속은 다음과 같다.

\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)

이를 사용하여 ( $Γ(1) = 1$ 임을 감안할 때) 다음을 얻는다.

\zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}

여기서 $ζ(s)$ 의 $s = 1$ 에서의 멱급수 확장은 $ζ(s)$ 가 그곳에서 유수 1의 단순 극점을 가지기 때문에 성립한다. 이러한 의미에서 $1 + 1 + 1 + 1 + \dots = ζ(0) = - ⁠ 1 / 2 ⁠$ 이다.

에밀리오 엘리살데는 이 급수의 제타 함수 조절이 물리학에서 중요함을 시사하며, 이 급수에 대한 다른 사람들의 의견을 다음과 같이 제시한다.

1년도 채 되지 않는 짧은 기간 동안, 두 저명한 물리학자인 A. 슬라브노프와 F. 인두라인은 바르셀로나에서 서로 다른 주제에 대해 강연을 했다. 두 발표 모두에서 어느 시점에 발표자가 청중에게 다음과 같은 말로 연설한 것이 인상적이었다: '모두가 알다시피, 1 + 1 + 1 + ⋯ = −⁠1/2⁠.' 아마도 다음과 같은 의미였을 것이다: 이 사실을 모른다면 계속 들을 필요가 없다.^[2]