T-이중성과 S-이중성 은 서로 다른 것처럼 보이는 초끈 이론 들을 서로 연관짓는다. T-이중성에 따라, ⅡA형과 ⅡB형 초끈 이론이 서로 동형이고, E8 ×E8 잡종 끈 이론 과 SO(32) 잡종 끈 이론 이 서로 동형이다. 끈 이론 에서 T-이중성 (T-二重性, 영어 : T-duality ) 또는 과녁 공간 이중성 (영어 : target space duality )은 서로 다른 두 시공간 (과녁 공간) 위의 끈 이론 이 서로 같은 현상이다.[ 1] [ 2] [ 3] :187–248 [ 4] :232–281 차원 은 끈의 길이보다 아주 큰 차원과 동등하다. 따라서, 끈 이론 에서의 시공간은 점입자 이론에서의 시공간과 근본적으로 다르고, 매우 짧은 길이와 매우 긴 길이에 대한 차이가 사라진다.
원기둥 에 축소화 한 닫힌 보손 끈 을 생각하자. 축소 차원의 크기가
2
π
R
{\displaystyle 2\pi R}
운동량 은
1
/
R
{\displaystyle 1/R}
양자화 된다.
p
=
n
/
R
{\displaystyle p=n/R}
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
끈은 또한 축소 차원에 따라 (점입자와 달리) 감길 수 있다. 닫힌 끈의 경우, 축소 차원에 따라 감긴 수를 감음수 (winding number )
w
{\displaystyle w}
닫힌 끈의 감음수. 시계 방향으로 감기면 음수, 시계 반대 방향으로 감기면 양수로 친다. 그렇다면 끈의 질량은 다음과 같다.
m
2
=
n
2
R
2
+
w
2
R
2
+
2
(
N
+
N
~
−
2
)
{\displaystyle m^{2}={\frac {n^{2}}{R^{2}}}+w^{2}R^{2}+2\left(N+{\tilde {N}}-2\right)}
여기서
N
+
N
~
{\displaystyle N+{\tilde {N}}}
α
′
=
1
{\displaystyle \alpha '=1}
R
↔
1
/
R
n
↔
w
{\displaystyle R\leftrightarrow 1/R\quad n\leftrightarrow w}
와 같이 바꾸면 끈의 질량 스펙트럼이 같은 것을 알 수 있다. 또한 마찬가지로 끈의 상호 작용도 같다는 사실을 보일 수 있다.
끈 이론에서는 T-이중성으로 인하여 매우 작은 차원이 매우 큰 차원과 동등하다. 이는 이론의 질량 스펙트럼으로 확인할 수 있다.
열린 끈의 경우, 노이만 경계 조건 이 디리클레 경계 조건 에 대응됨을 알 수 있다. 따라서 이론에 디리클레 경계조건과 D-막 을 포함하여야 한다. 이에 따라, D
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
(
p
−
1
)
{\displaystyle (p-1)}
T-이중성은 2차원 등각 장론 의 관점에서 이미 등장한다. 가장 간단하게, 스칼라장
X
:
Σ
→
R
/
(
2
π
R
Z
)
{\displaystyle X\colon \Sigma \to \mathbb {R} /(2\pi R\mathbb {Z} )}
을 생각하자. 그렇다면, 그 분배 함수 는 다음과 같은 꼴이다.[ 5] :124, (4.19)
Z
R
(
τ
,
τ
¯
)
=
1
|
η
(
τ
)
|
2
∑
m
,
n
∈
Z
q
1
2
(
m
/
R
+
R
n
/
2
)
2
q
¯
−
1
2
(
m
/
R
−
R
n
/
2
)
2
{\displaystyle Z_{R}(\tau ,{\bar {\tau }})={\frac {1}{|\eta (\tau )|^{2}}}\sum _{m,n\in \mathbb {Z} }q^{{\frac {1}{2}}(m/R+Rn/2)^{2}}{\bar {q}}^{-{\frac {1}{2}}(m/R-Rn/2)^{2}}}
여기서
q
=
exp
(
2
π
i
τ
)
{\displaystyle q=\exp(2\pi \mathrm {i} \tau )}
q
¯
=
exp
(
2
π
i
τ
¯
)
{\displaystyle {\bar {q}}=\exp(2\pi \mathrm {i} {\bar {\tau }})}
이며,
η
{\displaystyle \eta }
데데킨트 에타 함수 이다. 그렇다면, 푸아송 재합 공식(영어 : Poisson resummation formula )을 통하여
Z
(
τ
;
R
)
=
Z
(
τ
+
1
;
R
)
=
Z
(
−
1
/
τ
;
R
)
=
Z
(
τ
;
2
/
R
)
{\displaystyle Z(\tau ;R)=Z(\tau +1;R)=Z(-1/\tau ;R)=Z(\tau ;2/R)}
임을 보일 수 있다.[ 5] :125, §4.2 모듈러 군 의 작용이며, 마지막 등식은 끈의 T-이중성을 나타낸다.
여러 개의 차원을 축소화 할 경우, T-이중성 군은 더 커진다.[ 3] :265–286 [ 4] :246–255
k
{\displaystyle k}
O
(
k
,
k
,
Z
)
{\displaystyle \operatorname {O} (k,k,\mathbb {Z} )}
2
k
×
2
k
{\displaystyle 2k\times 2k}
정사각행렬
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
유니모듈라 행렬 (영어 : unimodular matrix )이다. 즉,
M
{\displaystyle M}
정수 이며,
M
−
1
{\displaystyle M^{-1}}
M
−
1
{\displaystyle M^{-1}}
정수 이다.
M
{\displaystyle M}
계량 부호수 가
(
k
,
k
)
{\displaystyle (k,k)}
계량 텐서 에 대한 직교행렬 이다. 즉,
Ω
=
(
0
n
I
n
I
n
0
n
)
{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0_{n}&I_{n}\\I_{n}&0_{n}\end{pmatrix}}}
I
n
{\displaystyle I_{n}}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
단위행렬 ,
0
n
{\displaystyle 0_{n}}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
영행렬 )이면,
M
⊤
Ω
M
=
Ω
{\displaystyle M^{\top }\Omega M=\Omega }
초끈 이론에서는 T-이중성은 ⅡA와 ⅡB종 이론, HE와 HO 이론 을 각각 서로 연관짓는다. 즉, 축소화의 관계는 다음과 같다.
D
=
11
M
↓
D
=
10
I
I
A
I
I
B
H
E
8
×
E
8
H
SO
(
32
)
↓
↙
↓
↙
D
=
9
N
=
2
N
=
1
{\displaystyle {\begin{matrix}D=11&\mathrm {M} \\&\downarrow \\D=10&\mathrm {IIA} &&\mathrm {IIB} &\mathrm {H} \operatorname {E} _{8}\times \operatorname {E} _{8}&&\mathrm {H} \operatorname {SO} (32)\\&\downarrow &\swarrow &&\downarrow &\swarrow \\D=9&{\mathcal {N}}=2&&&{\mathcal {N}}=1\end{matrix}}}
Ⅰ종 끈 이론은 T-이중성 변환을 하면 D-막 에 의하여 (10차원) 푸앵카레 대칭 이 깨지게 된다. 이 이론을 Ⅰ′종 이론 (Type Ⅰ′ ) 또는 ⅠA종 이론 (Type IA )이라고 한다.[ 3] :224–226 [ 6] 오리엔티폴드 사영을 가한 것으로 볼 수 있다. ⅡA종 끈 이론에서는 오른쪽 및 왼쪽 모드가 서로 반대 손지기(chirality )를 가지므로, 사영을 하려면 향 의 반전
Ω
{\displaystyle \Omega }
− -평면을 가지고, 또한 T-이중성에 따라서 32개의 D8-막 을 가진다.
T-이중성 아래, NS-NS 배경장
(
g
,
B
,
Φ
)
{\displaystyle (g,B,\Phi )}
부셔 규칙 (영어 : Buscher rule )을 통해 변환한다.[ 2] :(1.0.2)
g
11
′
=
1
g
11
{\displaystyle g_{11}'={\frac {1}{g_{11}}}}
g
1
i
′
=
B
1
i
g
11
{\displaystyle g_{1i}'={\frac {B_{1i}}{g_{11}}}}
g
i
j
′
=
g
i
j
−
g
1
i
g
1
j
−
B
1
i
B
1
j
g
11
{\displaystyle g_{ij}'=g_{ij}-{\frac {g_{1i}g_{1j}-B_{1i}B_{1j}}{g_{11}}}}
B
1
i
′
=
g
1
i
g
11
{\displaystyle B_{1i}'={\frac {g_{1i}}{g_{11}}}}
B
i
j
′
=
B
i
j
−
g
1
i
B
1
j
−
g
1
j
B
1
i
g
11
{\displaystyle B_{ij}'=B_{ij}-{\frac {g_{1i}B_{1j}-g_{1j}B_{1i}}{g_{11}}}}
Φ
′
=
Φ
−
1
2
ln
g
11
{\displaystyle \Phi '=\Phi -{\frac {1}{2}}\ln g_{11}}
여기서
1은 T-이중성을 취하는 방향의 좌표의 지표이며,
i
,
j
{\displaystyle i,j}
g
{\displaystyle g}
중력장 이다.
B
{\displaystyle B}
캘브-라몽 장 이다.
Φ
{\displaystyle \Phi }
딜라톤 이다.
보다 일반적으로, T-이중성은 원과의 곱공간 대신 원을 올로 하는 올다발 에 대하여 적용될 수 있다. 이 경우 T-이중성은 서로 위상 동형 이지 않을 수 있는 올다발 사이의 쌍대성을 정의한다.
초끈 이론의 저에너지 극한은 초중력 이다. ⅡA 초끈 이론의 저에너지 극한은 10차원 ⅡA 초중력이고, ⅡB 초끈 이론의 저에너지 극한은 10차원 ⅡB 초중력이다. 이 경우, T-이중성에 의하여 10차원 ⅡA 초중력을 원 위에 축소화하여 얻는 9차원
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
그 자세한 대응성은 다음과 같다. 10차원 ⅡA 초중력의 보손 장과 10차원 중 한 차원을 축소화 하여 얻는 9차원 장들은 다음과 같다.
ⅡB 초중력의 보손 장과 이를 축소화하여 얻는 장들은 다음과 같다.
(ⅡB 라몽-라몽 4차 형식의 장세기는 자기 쌍대(영어 : self-dual )이므로, 축소화하면 4차 형식을 남기지 않는다.)
따라서 9차원으로 축소화하면 9차원 보손 장들의 종류와 개수가 같아지는 것을 알 수 있다.
오사카 대학 의 깃카와 게이지(일본어 : 吉川 圭二 ( きっかわ けいじ ) 일본어 : 山崎 眞見 ( やまさき まさみ ) [ 7] 도쿄 공업대학 의 사카이 노리스케(일본어 : 坂井 典佑 ( さかい のりすけ ) 일본어 : 仙田 郁夫 ( せんだ いくお ) [ 8] 영어 : Thomas Henry Buscher )[ 9] [ 10] [ 11] 체코어 : Martin Roček ), 에리크 페터르 페를린더(네덜란드어 : Erik Peter Verlinde )[ 12]
오늘날에는 이와 같은 가환(Abelian) T-이중성 말고도, 이를 일반화한 비가환 T-이중성[ 13] [ 14] [ 15] 거울 대칭 도 T-이중성을 일반화한 것으로 볼 수 있다.[ 16]
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이 부분의 본문은 위상 T-이중성입니다.
