코르테버흐-더프리스 방정식
u
t
+
u
u
x
+
δ
2
u
x
x
x
{\displaystyle u_{t}+uu_{x}+\delta ^{2}u_{xxx}}
δ
=
0.022
{\displaystyle \delta =0.022}
u
(
x
,
t
=
0
)
=
cos
(
π
x
)
{\displaystyle u(x,t=0)=\cos(\pi x)}
수학 에서 코르테버흐-더프리스 방정식 (영어 : Korteweg–de Vries equation , KdV 방정식 )은 옅은 수면파 를 나타내는 비선형 편미분 방정식 이다.[ 1] [ 2] 적분가능계 의 하나다.
코르테버흐-더프리스 방정식은 2변수 함수
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle u(x,t)}
편미분 방정식 이며, 다음과 같다.
u
t
+
u
x
x
x
=
6
u
u
x
{\displaystyle u_{t}+u_{xxx}=6uu_{x}}
계수 6은 일부 공식의 편의를 위하여 삽입한 것이다. 사실,
(
t
,
x
,
u
)
{\displaystyle (t,x,u)}
다음과 같은 라그랑지언 밀도의 오일러-라그랑주 방정식 을 생각하자.
L
=
1
2
f
x
f
t
+
f
x
3
−
1
2
f
x
x
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}f_{x}f_{t}+f_{x}^{3}-{\frac {1}{2}}f_{xx}^{2}}
여기에
u
=
f
x
{\displaystyle u=f_{x}}
로 치환하면, 이는 코르테버흐-더프리스 방정식과 같다.
코르테버흐-더프리스 방정식은 변환
x
↦
−
x
{\displaystyle x\mapsto -x}
t
↦
−
t
{\displaystyle t\mapsto -t}
u
↦
u
{\displaystyle u\mapsto u}
에 대하여 불변이다. 즉, 만약 코르테버흐-더프리스 방정식의 해
u
(
t
,
x
)
{\displaystyle u(t,x)}
u
(
−
t
,
−
x
)
{\displaystyle u(-t,-x)}
코르테버흐-더프리스 방정식은 다음과 같은 럭스 쌍 을 가진다.
L
=
−
∂
x
2
+
u
{\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u}
P
=
6
u
∂
x
+
3
u
x
−
4
u
x
3
{\displaystyle P=6u\partial _{x}+3u_{x}-4u_{x}^{3}}
즉, 코르테버흐-더프리스 방정식을 다음과 같은 럭스 방정식
L
t
=
[
P
,
L
]
{\displaystyle L_{t}=[P,L]}
으로 쓸 수 있다. 따라서 코르테버흐-더프리스 방정식은 적분가능계 임을 알 수 있다.
코르테버흐-더프리스 방정식은 무한히 많은 운동 상수 를 갖는다. 구체적으로, 변수
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle u(x,t)}
P
n
∈
Z
[
u
,
u
x
,
u
x
x
,
…
,
∂
n
−
1
u
∂
x
n
−
1
]
{\displaystyle P_{n}\in \mathbb {Z} \left[u,u_{x},u_{xx},\dotsc ,{\frac {\partial ^{n-1}u}{\partial x^{n-1}}}\right]}
P
1
=
u
{\displaystyle P_{1}=u}
P
n
+
1
=
−
∂
∂
x
P
n
+
∑
i
=
1
n
−
2
P
i
P
n
−
1
−
i
{\displaystyle P_{n+1}=-{\frac {\partial }{\partial x}}P_{n}+\sum _{i=1}^{n-2}P_{i}P_{n-1-i}}
그렇다면, 임의의 자연수
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
∫
−
∞
+
∞
P
n
(
u
,
u
x
,
u
x
x
,
…
)
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }P_{n}\left(u,u_{x},u_{xx},\dotsc \right)\,\mathrm {d} x}
다만, 만약
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
낮은 차수의 운동 상수들은 다음과 같다.
차수
n
{\displaystyle n}
운동 상수
P
n
{\displaystyle P_{n}}
설명
1
∫
u
{\displaystyle \textstyle \int u}
질량
2
∫
(
−
u
x
)
=
0
{\displaystyle \textstyle \int (-u_{x})=0}
3
∫
(
u
x
x
+
u
2
)
=
∫
u
2
{\displaystyle \textstyle \int (u_{xx}+u^{2})=\int u^{2}}
운동량
4
∫
(
−
u
x
x
x
−
4
u
u
x
)
=
0
{\displaystyle \textstyle \int (-u_{xxx}-4uu_{x})=0}
5
∫
(
u
x
x
x
x
+
5
u
x
2
+
6
u
u
x
x
+
2
u
3
)
=
∫
(
2
u
3
−
u
x
2
)
{\displaystyle \textstyle \int (u_{xxxx}+5u_{x}^{2}+6uu_{xx}+2u^{3})=\int (2u^{3}-u_{x}^{2})}
에너지
코르테버흐-더프리스 방정식은 솔리톤 해를 갖는다. 이러한 해의 가설 풀이 는
u
(
t
,
x
)
=
u
(
x
−
c
t
)
(
c
∈
R
)
{\displaystyle u(t,x)=u(x-ct)\qquad (c\in \mathbb {R} )}
의 꼴이다. 여기서
c
{\displaystyle c}
속도 이다. 또한, 솔리톤이 공간에서 국소적이어야 하므로,
lim
ξ
→
+
∞
u
(
ξ
)
=
lim
ξ
→
−
∞
u
(
ξ
)
=
0
{\displaystyle \lim _{\xi \to +\infty }u(\xi )=\lim _{\xi \to -\infty }u(\xi )=0}
이다.
이러한 가설 풀이를 대입하면, 다음과 같은 3차 상미분 방정식 을 얻는다. (여기서 윗점은
ξ
=
x
−
c
t
{\displaystyle \xi =x-ct}
−
c
u
˙
+
u
.
.
.
−
6
u
u
˙
=
0
{\displaystyle -c{\dot {u}}+{\overset {\mathbf {...} }{u}}-6u{\dot {u}}=0}
양변을
ξ
{\displaystyle \xi }
상미분 방정식 을 얻을 수 있다.
−
c
u
+
u
¨
−
3
u
2
=
A
{\displaystyle -cu+{\ddot {u}}-3u^{2}=A}
여기서
A
{\displaystyle A}
적분 상수 이다. 이는 다음과 같은 라그랑지언 의 오일러-라그랑주 방정식 이다.
L
(
u
,
u
˙
)
=
1
2
u
˙
2
+
u
3
+
1
2
c
u
2
+
A
u
{\displaystyle L(u,{\dot {u}})={\frac {1}{2}}{\dot {u}}^{2}+u^{3}+{\frac {1}{2}}cu^{2}+Au}
이는 퍼텐셜
V
(
u
)
=
−
u
3
−
1
2
c
u
2
−
A
u
{\displaystyle V(u)=-u^{3}-{\frac {1}{2}}cu^{2}-Au}
속에서 움직이는 입자로 해석할 수 있다. 이제, 솔리톤의 가설 풀이 를 만족시키려면,
u
(
±
∞
)
=
0
{\displaystyle u(\pm \infty )=0}
ξ
=
−
∞
{\displaystyle \xi =-\infty }
ξ
=
+
∞
{\displaystyle \xi =+\infty }
A
=
0
{\displaystyle A=0}
c
>
0
{\displaystyle c>0}
이러한 해는 쉽게 계산할 수 있으며, 구체적으로 다음과 같다.
u
(
x
,
t
)
=
−
1
2
c
(
cosh
(
1
2
c
(
x
−
c
t
−
x
0
)
)
)
−
2
{\displaystyle u(x,t)=-{\frac {1}{2}}c\left(\cosh \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {c}}(x-ct-x_{0})\right)\right)^{-2}}
여기서
x
0
{\displaystyle x_{0}}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
조제프 발랑탱 부시네스크(프랑스어 : Joseph Valentin Boussinesq IPA: [ʒɔzɛf valɑ̃tɛ̃ businɛsk] [ 3] :360, 주석 [ 4] 네덜란드어 : Diederik Johannes Korteweg )와 귀스타브 더프리스(네덜란드어 : Gustav de Vries )의 이름을 땄다.[ 5] [ 6]
![{\displaystyle L_{t}=[P,L]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05761b1d202feb841dca28a35e974691e7a85751)
![{\displaystyle P_{n}\in \mathbb {Z} \left[u,u_{x},u_{xx},\dotsc ,{\frac {\partial ^{n-1}u}{\partial x^{n-1}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba368e868b325dbd9606e31ceffd0781e234b66c)
