Веројатносна распределба

Веројатносна распределба (или веројатносен распоред) — односот помеѓу вредностите кои ги зема случајната променлива и нивните веројатности. Распределбата на веројатностите може да биде едноваријатна и повеќеваријантна. Едноваријантната распределба ги дава веројатностите на една случајна променива да преземе разни алтернативни вредности. Повеќеваријантната распределба ги дава веројатностите на еден случаен вектор – збир на два или повеќе случајни променливи – преземање разни вредносни комбинации. Од едноваријантните веројатносни распределби најчесто се среќаваат и се многу важни слендиве: биномна веројатност, хипергеометриска веројатност и нормалната распределба.

За да ја дефинираме веројатносната распределба за наједноставните случаи, најпрво треба да правиме разлика помеѓу прекинатата и непрекинатата случајна променлива.

Ако променливата X случајно може да земе една од вредностите x₁, x₂, x_n, со соодветни веројатности (релативни честоти) p₁, p₂,… , p_n при што p₁+ p₂+… + p_n = 1 во тој случај X претставува прекината случајна променлива. Со други зборови, ако S е простор на можни настани, тогаш случајната променлива претставува функција x која му доделува бројан вредност на секој исход од S. Притоа, ако множеството од вредности кои може да ги земе случајната променлива е конечно, тогаш случајната променлива се нарекува прекината (дискретна).^[1]

Односот помеѓу вредностите кои ги зема случајната променлива и веројатностите со кои тие вредности ги зема се нарекува распределба (закон или функција) на веројатностите на случајната променлива. Во општ случај, веројатносната распределба на прекината случајна променлива може да се дефинира како збир на паровите на вредности со соодветни веројатности, при што збирот на сите веројатности е 1.

каде што Σp_i = 1

Пример: Фрлање на две коцки, за појавување на страните на коцките означени со 6, случајната променлива X може да ги земе вредностите 0,1 и 2. Веројатноста случајната променлива X да земе некоја од наведните вредности ќе ја означиме со P(X = x_i) = p_i. Значи,

Притоа, ако секој исход од просторот на можни настани S има подеднакви изгледи да се случи, тогаш веројатноста на Х е дадена како:^[2]

${\displaystyle \ {\frac {f(x)}{n}}}$, каде: f(x) е честотата на x, додека n е бројот на исходи во S.

Графичкото толкување на законот на веројатностите на прекината случајна променлива најчесто се врши со помош на дијаграмот на веројатностите или со т.н. веројатносен хистограм.

Општите одлики на сите прекинати случајни променливи: Ниту една веројатност во веројатносната распределба не може да биде негативна, т.е.

• P( X = x_i ) ≥ 0 за секое i
• Збирот на веројатностите кои одговараат на сите вредности на случајната променлива мора да биде еднакво на 1, т.е. ∑ pi= 1

Функција на распределба претставува кумулативна функција на законот (распределбата) на веројатностите на случајната променлива. функцијата на распределбата на случајната променлива X се означува со F(x) и е дадена со веројатноста

Функција на распределба F(x) = P( X ≤ x ) каде што x може да биде било кој реален број. Кај прекинатата алеаторна променлива X, која зема вредности x₁, x₂, … , x_н функцијата на распоредот е F(x) = P( X ≤ x ) = P( X = x₁ ) + P(X = x₂ ) + … + P(X=x_n ) = ∑pi = 1

Секоја функција на распределбата мора да ги задоволи следните математички одлики:

1. за која било вредност а, 0 ≤ F(a) ≤ 1 што е и разбирливо, бидејќи тоа е функција на веројатносна распределба;
2. F(- ∞) = 0 и F(+ ∞) = 1 бидејќи F( -∞) = P(X ≤ -∞) е неможен настан , а F(+∞) = P(X ≤ +∞) е сигурен настан;
3. ако а < b тогаш F(a) ≤ F(b) т.е. функцијата на распределба на било која случајна променлива е неопаѓачка функција. Функцијата на распределба за прекинатата алеатрна променлива X се добива со кумулирање на веројатностите. Функцијата на распределба за дадена вредност x на случајната променлива X ја претставува веројатноста случајната променлива X да ги земе сите вредности помали или еднакви на таа вредност x.

Функцијата на веројатносна распределба на прекината случајна променлива мора да ги задоволува следниве две својства.

1. 0 ≤ P( x ) ≤ 1 за која било вредност на x и
2. Збирот на поединечните веројатности е 1 , односно

∑ P( x ) = 1 каде што ознаката покажува збир на сите можни вредности на x.

Очекувана вредност - (математичкото очекување ) на прекинатата случајна променлива X е еднаква на збирот од производот на секоја можна вредност на X и соодветните веројатности, односно Очекувана вредност на прекината случајна променлива ∑(X) = ∑x_i p_i

Варијанса- просек на квадратите на отстапувањата на вредностите на случајната променлива X од нејзината очекувана вредност.

Под модел на распределбата се подразбира функционалната врска помеѓу вредностите на случајната променлива и соодветните веројатности, дефинирана со определен тип на функција. Кај прекинатата случајна променлива моделот на распределба претставува функционална врска помеѓу вредностите x₁, x₂, … , x_n, и соодветните веројатности p₁, p₂, …, p_n односно p_i = f(x_i) каде што i = 1,2, … , n. Кај непрекинатат случајна променлива функционалната врска се сведува на законот на веројатностите дефинирани со функцијата f(x) за секое x во интервалот ( a,b).

Најпознати модели на прекинати веројатносни распределби се:

• Биномна распределба (Бернулиева распределба)
• Хипергеометриска распределба
• Поасонова распределба
• Рамномерна распределба

Биномна распределба – во применетата статистика најчесто употребуван прекината распределба е биномниата распределба. За негово поцелосно согледување ќе го објасниме Бернулиевата распределба. Бернулиевиот модел на распределба го карактеризира случајната променлива X која може да земе само една од алтернативните вредности:0 е q ,а вредноста 1 е p, притоа p+q = 1.

Параметрите на Бернулиевата распределба се:

1. Очекувана вредност. E(X) = M = p.
2. Варијанса:

Бернулиевиот модел на распределба е дефиниран само со еден параметар: p. Секој опит резултира во еден од двата можни исходи “успех” и “неуспех”. Таквиот опит кој може да продуцира само со две резултати се нарекува Бернулиев опит.

Веројатносната распределба на непрекинатата случајна променлива x претставува функција на f(x) . За секоја вредност на непрекинатата случајна променлива x во интервалот ( a,b ) ,функцијата f(x) е поголема од 0 . Непрекинатата случајна променлива x не може да земе една определена вредност (P(X=x)), ако се има предвид фактот дека такви вредности има бесконечно многу , и оттаму таа веројатност е еднаква на нула за секое x . Кај непрекинатата случајна променлива може да се определува само веројатноста дека x се наоѓа во некој интервал. Функцијата f(x) го претставува веројатносната распределба на континуираната алеаторна променлива X , ако ги задоволи следните услови:

• 0 ≤ f(x) ≤ 1 значи дека функцијата не е негативна , т.е. f(x) ≥ 0
• ∫_(-∞)^(+∞)Σ〖f(x)〗dx = 1 вкупната површина под кривата на f(x) секогаш е еднаква на 1 .

Веројатноста X да земе вредност во некој интервал , на пример ( a, b ) еднаква е на површината помеѓу кривата f(x) и оската X во должина на интервалот ( a,b ). Ако функцијата f(x) е интеграбилна таа површина може да се изрази преку определен интеграл . P ( a < X ≤ b ) = ∫_(-∞)^(+∞)Σ〖f(x)〗dx Бидејќи континуираната алеаторна променлива може да зема бесконечно многу вредности , веројатноста да земе една определена вредност е еднаква на 1⁄∞ = 0.Значи P ( a < X < b ) = P ( a < X ≤ b ) = P ( a ≤ X < b ) = P ( a ≤ X ≤ b ) . Кога е веќе познат математичкиот израз на функцијата f(x) на непрекинатата алеаторна променлива , проблемот во врска со изнаоѓањето на веројатностите X да земе вредност во некој интервал се сведува на пресметување на соодветна површина под кривата . Постојат неколку модели на непрекинати веројатносни распределби:

1. Нормална распределба : нормалната случајна порменлива X претставува непрекината променлива која зема бесконечен број можни вредности од - ∞ до + ∞ со функцијата f(x) која претставува веројатносна распределба во дадениот интервал. Стандарфдизиран нормална распределба
2. Студентова т-распределба
3. x²-проверка

• Ристески Славе, Тевдовски Драган (2010): „Статистика за бизнис и економија“, четврто издание, Скопје: Економски факултет – Скопје. ISBN 978-608-212-009-6
• Paul Newbold, William Carlson, Betty Thorne (2012): Statistics for Business and Economics (8th Edition). ISBN 978-0132745659.