Биномна распределба

Биномна распределба
Закон на распределба (pdf)
Кумулативна распределба (cdf)
Тип	Дискретна
Означување	B(n, p )
Параметри	p∈[0,1] = веројатност на успех по опит, n∈ℕ = број повторување на опитот
Поддршка	k∈{0,1,2,...,n}
PDF	${\displaystyle f(k)=\left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}}\right){p^{k}}{{(1-p)}^{n-k}}}$ k=0,1,2,...,n
CDF	${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{0\,\,\,\,\,x<0}\\{\sum \limits _{k=0}^{k\leq x}{f(k)\,\,\,\,\,x\geq 0}}\end{array}}\right.}$
μ	np
σ2	np(1 − p)
Асиметрија	${\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}}$
Сплоснатост	${\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}}$

Биномна распределба B(n, p ), n∈ℕ, p∈(0,1) — случаен опит во веројатностa и статистиката, кој се повторува n пати Бернулиев опит со веројатност на успех p запишувајќи го бројот k на успеси во n-тите повторувања.^[1]

• Биномна распределба е потполно определена со веројатноста на успехот p на Бернулиевиот опит заедно со бројот на повторувања n.
• Биномна распределба е дискретна распределба со дискретната случајна променлива со n+1 елементи: X={0,1,2,...,n}.
• Pr(X=k) е веројатноста на k успеси во n повторувања на Бернулиевиот опит со веројатноста на успех p, k∈X.

Пример: B(5;0,8).

• Во последниот ред од табелата e запишан бројот на подредените исходи во таа колона. Гледаме дека тој број го следи т.н. биномен коефициент

${\displaystyle \#=\left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}}\right)={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

каде што знакот ! значи факториел, т.е. n!=n·(n-1)·(n-2)...·(2)·(1) (види и комбинаторика).

• Од друга страна, бидејќи секое повторување на Бернулиевиот опит е независно од минатите како и од идните повторувања, веројатноста на секој подреден исход со k успеси во n повторувања е

${\displaystyle p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}}$.

Следува дека веројатноста на секоја елемент k на Х e производот на овие два броја, односно

${\displaystyle Pr(X=k)=\left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}}\right)p^{k}(1-p)^{n-k}}$

Се разбира дека може да се докаже дека збирот на веројатностите е 1.^[2]

${\displaystyle \sum \limits _{k}{\Pr(X=k)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{\left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}}\right)}\,{p^{k}}{(1-p)^{n-k}}=1}$

• Биномен опит B(n,p) ја има дискретната случајна променлива: X={0,1,...,n}.

PDF на B(n,p)
X=k	Биномен коефициент	Pr(X=k)=f(k)
0	${\displaystyle \left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\0\end{array}}\right)={\frac {n!}{0!(n-0)!}}=1}$	${\displaystyle 1\cdot p^{0}\cdot (1-p)^{n}=(1-p)^{n}}$
1	${\displaystyle \left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\1\end{array}}\right)={\frac {n!}{1!(n-1)!}}=n}$	${\displaystyle n\cdot p^{1}\cdot (1-p)^{n-1}=np(1-p)^{n-1}}$
2	${\displaystyle \left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\2\end{array}}\right)={\frac {n!}{2!(n-2)!}}={\frac {n\cdot (n-1)}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {n\cdot (n-1)}{2}}\cdot p^{2}\cdot p(1-p)^{n-2}}$
...	...	...
n	${\displaystyle \left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\n\end{array}}\right)={\frac {n!}{n!(n-n)!}}=1}$	${\displaystyle 1\cdot p^{n}\cdot (1-p)^{0}=p^{n}}$

Бидејќи при собирање на соодветните веројатности во општа форма не доаѓа до некоја скратена форма ги даваме само неколку.

• Очекувана вредност E(x)  ^[3]

${\displaystyle E(x)=\sum \limits _{j}{{x_{j}}\cdot {p_{j}}=\sum \limits _{k=0}^{n}{k\cdot \left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}}\right)}}\,{p^{k}}{(1-p)^{n-k}}=np}$

• Дисперзија σ^{2  [4]}

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{j}{{{({x_{j}}-E(x))}^{2}}\cdot {p_{j}}=np(1-p)}}$

Пример (прод.): B(5,0.8) Приказ на распределбите, ...

PDF-от на B(5,0.8) X=k f(k)=Pr(X=k) 0  1 · 0,80·0,25=0,0003 1  5 · 0,81·0,24=0,0064 2 10 · 0,82·0,23=0,0512 3 10 · 0,83·0,22=0,2048 4  5 · 0,84·0,21=0,4096 5  1 · 0,85·0,20=0,3277 Σ 1,0000	CDF-от на Б(5,0.8) x F(x) x<0 0 0≤x<1 0,0003 1≤x<2 0,0067 2≤x<3 0,0579 3≤x<4 0,2627 4≤x<5 0,6723 x≥5 1

Очекувана вредност:	E(x)=np=5·0,8=4
Дисперзијата е:	σ2=np(1-p)=5·0,8·0,2=0,8
Стандардното отстапување е:	σ ≈ 0,89

Пример: Еден стрелец има веројатност p=0,8 да ја погоди целта. Колку е веројатноста во пет стрелања стрелецот да ја погоди целта барем 3 пати? Одговор: B(5;0,8) и 1-Pr(x<3)=1-0,0579=0,9421=94,2%.

За графички приказ на PDF-от, т.е. законот на распределба и на CDF-от, т.е. кумулативна распределба на биномна распределба може да се користи бесплатниот софтвер Геогебра.^[5]

Дефиниции специфични за биномната распределба се:

Соодветните наредби на македонски (внимавате на кирилица и латиница) се:

Понатамошните дефиниции се исти за сите дискретни случајни променливи (види дискретна случајна променлива).

• Бернулиев опит
• Дискретна случајна променлива
• Опит (теорија на веројатноста)
• Веројатност

• Стојановска, Л (2013). „Биномна Распределба“. Архивирано од изворникот на 2016-03-05. Посетено на 1 October 2013. интерактивен
• Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Биномна Распределба“. Архивирано од изворникот на 2020-09-26. Посетено на 1 November 2013.
• Bogomolny, Alexander (2007). „Binomial Distribution“ (англиски). cut-the-knot.org. Посетено на 1 October 2013. интерактивен
• Lane, D. M., (Editor) (2013). „Online Statistics Education: An Interactive Multimedia Course of Study“ (англиски). Посетено на 1 October 2013.CS1-одржување: излишен текст: список на автори (link)
• Leemis, L. (2007). „Univariate Distribution Relationships“ (англиски). William and Mary, VA, USA. Посетено на 1 October 2013.
• „Binomial Distribution with R-programming Language“ (англиски). Посетено на 1 October 2013. со алгоритми за генерирање на случајни податоци