Инверзни хиперболични функции

Инверзни хиперболични функции се инверзии на хиперболичните функциии: sh x - хиперболичен синус, ch x - хиперболичен косинус, th x - хиперболичен тангенс, cth - хиперболичен котангенс. Се нарекуваат и ареа-функции по латинскиот збор area - површина, бидејќи ја претставуваат површината на криволиниски триаголник меѓу темињата на хиперболата и почетокот на координатниот систем (в. хиперболични функции).^[1][2][3]

ареа-синус ${\displaystyle \operatorname {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}),\;-\infty <x<\infty ,}$

ареа-косинус ${\displaystyle \operatorname {arch} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\;1<x<\infty ,}$

ареа-тангенс ${\displaystyle \operatorname {arth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}},\;-1<x<1,}$

ареа-котангенс ${\displaystyle \operatorname {arcth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}},\;x\in (-\infty ,-1)\cup (1,\infty ).}$

Англосаксонските ознаки на хиперболичните синус, косинус, тангенс и котангенс се: sinh, cosh, tanh, coth, па соодветните инверзни функции се означуваат со arsinh, arcosh, artanh, arcoth. Заради аналогија со тригонометријата, истите функции понекога се нарекуваат и аркус-функции, со наставката хиперболични за да се разликуваат од тригонометриските функции. Оттаму доаѓаат скратениците: arcsinh, arccosh, arctanh, arccoth. Тогаш се читаат аркус синус хиперболичен, итн. Исто така, инверзните функции се означуваат со индексот "-1", така што ги имаме и следниве скратеници: sinh⁻¹, cosh⁻¹, tanh⁻¹, coth⁻¹. Се читаат: хиперболичен синус на минус прва, итн.

Изводите на инверзните хиперболични функции се:

${\displaystyle (\operatorname {arsh} x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},}$

${\displaystyle (\operatorname {arch} x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},}$

${\displaystyle (\operatorname {arth} x)'={\frac {1}{1-x^{2}}},}$

${\displaystyle (\operatorname {arcth} x)'=-{\frac {1}{x^{2}-1}}.}$

Инверзните хиперболични функции често се јавуваат при интегрирање на рационални функции и квадратни ирационалности.

Во комплексната рамнина овие функции се повеќезначни. Кога во нивните формули се земат главните вредности на логаритмот се добиваат еднозначни гранки, т.н. главни вредности, кои се запишуваат arsh z, arch z, arth z. Инверзните хиперболични функции се поврзани со главните вредности на инверзни тригонометриски функции со формулите:

${\displaystyle \operatorname {arsh} z={\frac {1}{i}}\arcsin iz,}$

${\displaystyle \operatorname {arch} z=i\arccos z,}$

${\displaystyle \operatorname {arth} z={\frac {1}{i}}\operatorname {arctg} iz,}$

${\displaystyle \operatorname {arcth} z=i\operatorname {arctg} iz,\;i^{2}=-1.}$

• Список на интеграли на инверзни хиперболични функции

• Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Inverse hyperbolic functions“, Математичка енциклопедија, Шпрингер, ISBN 978-1556080104
• Inverse hyperbolic functions at MathWorld