Кошиева низа

Кошиева низа¹ - низа чии последователни елементи се произволно близу еден до друг за доволно големи индекси на елементите.

Низата реални броеви, x₁, x₂, x₃... се нарекува Кошиева ако за произволно мало ${\displaystyle \epsilon }$ може да се најде индекс n₀ за кој апсолутната разлика на кои било два елементи од низата со поголем индекс од него е помала од ${\displaystyle \epsilon }$. Симболички напишано, низата на реални броеви (x_n) е Кошиева ако:

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall m,n\in \mathbb {N} )(m,n>n_{0}\Rightarrow |x_{m}-x_{n}|<\epsilon )}$.

Во метричкиот простор М, со метрика d, низата од елементи од множеството М е Кошиева ако за произволно мало ${\displaystyle \epsilon }$ може да се најде индекс n₀ за кои оддалеченоста на кои било два елементи од низата со индекс поголем од него е помала од ${\displaystyle \epsilon }$. Симболички напишано, низата елементи (x_n) од метричкиот простор е Кошиева ако:

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall m,n\in \mathbb {N} )(m,n>n_{0}\Rightarrow d(x_{m},x_{n})<\epsilon )}$.

Кошиевата низа во метричките простори би можела да се дефинира и на следниов начин: Низата x₁, x₂, x₃... е Кошиева ако оддалеченоста на елементите x_m и x_n тежи кон нула кога помалиот од индексите m и n тежи кон бесконечност. Симболички напишано, низата елементи (x_n) од метричкиот простор е Кошиева ако:

${\displaystyle \lim _{min(m,n)\rightarrow \infty }d(x_{m},x_{n})=0}$.

За Кошиевите низа, и во множеството на реални броеви, и во произволните метрички простори, важат следните особини:

1. Секоја конвергентна низа е Кошиева
2. Секоја Кошиева низа е ограничена
3. Ако Кошиевата низа има конвергентна подниза, таа и самата е конвергентна.

Обратното тврдење од тврдењето 1, не мора секогаш да важи. Во множеството на реални броеви тоа навистина важи, што се докажува со посебна теорема, но не и во произволен метрички простор.

За оние метрички простори за кои е точно дека секоја Кошиева низа е конвергентна, се вели дека се комплетни². Еден пример на комплетни метрички простори е токму гореспоменатото множество на реални броеви, дефинирано со стандардна метрика ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$.

• Низа

1. Го добила името по францускиот математичар Огистен Луј Коши.
2. Комплетноста, како важна особина на метричкиот простор, дефинирана на гореопишаниот начин, е услов на бројни математички теореми; една од нив е Банаховата теорема за неподвижна точка, која е важна за докажување на некои други математички теореми.