Систем на линеарни равенки

	Статии поврзани со линеарната алгебра
	Теорија на матрици
	Матрица ; Детерминанта ;
	Системи линеарни равенки
	Линеарна равенка ; Систем линеарни равенки ; Крамерово правило ; Кронекер-Капелиева теорема ;
	Линеарни пресликувања и векторски простори
	Вектор, Скалар ; Векторски простор ; Линеарна зависност ; Линеарно пресликување ; Спектрална теорема ;
	Останати статии
	Портал: Математика

Линеарен систем со три променливи одредува множество рамнини. Пресекот на сите рамнини е решение

Систем на линеарни равенки — множество на линеарни равенки од типот:

{\begin{array}{rcrcrcc}3x_{1}&+&2x_{2}&-&x_{3}&=&1\\2x_{1}&-&2x_{2}&+&4x_{3}&=&-2\\-x_{1}&+&{\frac {1}{2}}x_{2}&-&x_{3}&=&0\end{array}}

Стандарден проблем е да се утврди дали постои множество вредности за непознатите $x_{1},x_{2},x_{3}\,\!$ , кое ги задоволува сите равенки истовремено и да се најде такво множество доколку постои. Постоењето на решенија зависи од равенките, но и од достапните вредности (дали се работи за цели броеви, реални броеви, и сл.). Системот од горниот пример има единствено решение:

{\begin{alignedat}{2}x_{1}&=&1\\x_{2}&=&-2\\x_{3}&=&-2\end{alignedat}}

Системите на линеарни равенки спаѓаат меѓу најстарите математички проблеми и имаат многу примени, како што се обработката на дигитални сигнали, процени, предвидувања, како и линеарно програмирање и апроксимација на нелинеарни проблеми во бројчената анализа. Постојат многу начини да се реши систем на линеарни равенки. Меѓутоа, меѓу најефикасните се Гаусовата постапка и декомпозицијата на Чолески.

Воопштено, систем со m линеарни равенки и n непознати се запишува на следниов начин:

{\begin{array}{rcrcccrcl}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&\cdots &+&a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&\cdots &+&a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&\vdots &&&&&\vdots \\a_{m1}x_{1}&+&a_{m2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\end{array}}

каде $x_{1},\ x_{2},...,x_{n}$ се непознатите, а броевите $a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}$ се коефициенти на системот. Коефициентите се ставаат во матрицата на следниов начин:

{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}

Ако секоја матрица се претстави со буква, ова станува:

A\mathbf {x} =\mathbf {b}

каде A е матрица m×n, x е вектор колона со n члена, а b е вектор колона со m члена. Гаус-Жордановата елиминација се применува на сите овие системи, дури и ако коефициентите се од некое произволно поле.

Ако полето е бесконечно (како во случајот на реалните или комплексните броеви), можна се само следните три случаи (само еден од нив ќе биде точен) за секој даден систем на линеарни равенки:

системот нема решение (системот е противречен)
системот има точно едно решение
системот има бесконечно многу решенија

Систем со облик:

A\mathbf {x} =\mathbf {0}

се нарекува хомоген систем на линеарни равенки. Множеството на сите решенија се нарекува нула простор на матрицата A.

Во светло на многубројните горенаведени примени, развиени се неколку поефикасни алтернативи на Гаус-Жордановата елиминација за широк спектар на специјални случаи. Многу од овие подобрени алгоритми се со сложеност O(n²). Некои од највообичаените специјални случаи се:

За проблеми од обликот Ax = b, каде A е симетрична Теплицова матрица, може да се користи Левинсоновата рекурзија или некоја од нејзините варијации. Една од често користените варијации е Шуровата рекурзија која се користи обработката на дигитални сигнали.
За проблеми од обликот Ax = b, каде A е сингуларна матрица, или скоро сингуларна, матрицата A се разложува во производ на три матрици. Матриците од левата и десната страна се леви и десни сингуларни вектори. Матрицата во средината е дијагонална матрица и содржи сингуларни вредности. Матрицата тогаш може да се инвертира со проста замена на редоследот на трите компоненти, со транспонирање на матрицата на сингуларни вектори, и земање на реципрочните вредности на дијагоналните елементи на средишната матрица. Ако која било од сингуларните вредности е многу блиску до нулата, и со тоа до сингуларноста, се поставува на нула.