Теорема за прости броеви

Во математиката теоремата за простите броеви (ТПБ) ја опишува распределбата на простите броеви меѓу позитивните цели броеви. Со оваа теорема се формализира интуитивната идеја дека простите броеви како што се зголемуваат стануваат сè поретки и со неа се дава асимптотска оценка на брзината со која тоа се случува. Теоремата била докажана независно од Жак Адамар^[1] и Шарл Жан де ла Вале Пусен^[2] во 1896 година со користење на идеи воведени од Бернард Риман (најмногу Римановата зета функција).

Првата таква пронајдена распределба е π(N) ~ Nln(N), каде што π(N) е функцијата за броење на прости броеви (бројот на прости броеви помали или еднакви на N), а ln(N) е природниот логаритам на N. Ова значи дека за доволно голем N, веројатноста дека произволен број кој не е поголем од N да е прост е многу блиску до 1 / ln(N). Следствено, произволен број со најмногу 2n цифри (за доволно голем n) има приближно половина поголема веројатност да биде прост од произволен цел број со најмногу n цифри. На пример, меѓу позитивните цели броеви со најмногу 1000 цифри, околу еден од 2300 е прост (log(10¹⁰⁰⁰) ≈ 2302,6), додека кај позитивните цели броеви со најмногу 2000 цифри, околу еден од 4600 е прост (log(10²⁰⁰⁰) ≈ 4605,2). Со други зборови, просечното растојание помеѓу два последователни прости броја меѓу првите N цели броеви е приближно ln(N)^[3].

Нека π(x) е функцијата за броење на прости броеви и ја дефинираме како број на прости броеви помали или еднакви на x за произволен реален број x . На пример, π(10) = 4 бидејќи има четири прости броја (2, 3, 5 и 7) помали или еднакви на 10. Според теоремата за простите броеви следува дека x / ln x е добра апроксимација на π(x) (со ln(x) е означен природниот логаритам од x), во смисла дека граничната вредност на количникот на двете функции π(x) и x / ln x кога x се зголемува неограничено е еднаква на 1:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=1,}$

познат како асимптотски закон за распределба на простите броеви. Користејќи асимптотска нотација, овој резултат може да се запише како

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.}$

Оваа ознака и теоремата не кажуваат ништо за лимесот на разликата на двете функции кога x се зголемува без ограничување. Наместо тоа, теоремата наведува дека x / ln x се приближува кон π(x), односно дека релативната грешка на оваа апроксимација се приближува кон 0 додека x се неограничено расте.

ТПБ е еквивалентна со тврдењето дека: n -тиот прост број p_n задоволува

${\displaystyle p_{n}\sim n\ln(n),}$

при што асимптотската нотација значи, повторно, дека релативната грешка на оваа апроксимација се приближува кон 0 кога n неограничено расте. На пример, 2⋅10¹⁷-тиот прост број е 8.512.677.386.048.191.000,^[4] и (2⋅10¹⁷)ln(2⋅10¹⁷) се заокружува на 7.957.418.752.291.744.388; релативната грешка е околу 6,4%.

Од друга страна, следниве асимптотски релации се логички еквивалентни:^{[5] :80–82}

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln x}{x}}&=1,\\{\text{ и}}\\\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln \pi (x)}{x}}\,&=1.\end{aligned}}}$ ^[5]

Како што е наведено подолу, ТПБ е исто така еквивалентна на

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\vartheta (x)\;}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\;\psi (x)\;}{x}}=1,}$

каде ϑ и ψ се првата и втората функција на Чебишев, соодветно.

Исто така, ТПБ е еквивалентна на ^{[5] :92–94}

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {M(x)}{x}}=1,}$

каде ${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$ е функцијата Мертенс.

Според претпоставките од Антон Фелкел и Јуриј Вега, Адриен-Мари Лежандр во 1797 (или 1798) година претпоставил дека π(a) е апроксимирана со функцијата a / (A ln a + B), каде што A и B се неодредени константи. Toj подоцна (1808) во второто издание на неговата книга за теоријата на броеви) направил попрецизна претпоставка фиксирајќи ги A и B, со A = 1 и B = −1,08366. Карл Гаус го разгледувал истото прашање на 15 години „во 1792 или 1793 година“, според неговото сеќавање од 1849 година.^[6] Во 1838 година, Дирихле смислил своја сопствена апроксимативна функција, логаритамскиот интеграл li(x) (под малку поинаква форма, која му ја соопштил на Гаус). И формулата на Лежандр и онаа на Дирихле, ја подразбираат истата претпоставена асимптотска еквиваленција на π(x) и x/ln(x) наведена погоре, иако се покажало дека апроксимацијата на Дирихле е значително подобрa ако се земат предвид разликите наместо количниците.

Во два труда издадени во 1848 и 1850 година, рускиот математичар Чебишев се обидел да го докаже законот за распределба на простите броеви. Во неговиот труд е забележлива употребата на зета функцијата ζ(s) за реалните вредности на аргументот „s“, како и во делата на Ојлер, од дури 1737 година. Трудовите на Чебишев биле напишани пред мемоарите на Риман од 1859 година и тој успеал да докаже послаба форма на законот. Имено, ако кога x оди кон бескрајност, лимесот од π(x) / (x / ln(x)) воопшто постои, тогаш тој мора да е еднаков на еден.^[7] Тој успеал да докаже дека овој однос е ограничен од горе и долу со 0,92129 и 1,10555, за сите доволно големи x.^[8][9] Иако трудот на Чебишев не ја докажал теоремата за прости броеви, неговите проценки за π(x) биле доволни за тој да го докаже постулатот на Бертран: за секој цел број n ≥ 2, постои прост број помеѓу n и 2n.

Еден од најзначајните трудови околу дистрибуцијата на простите броеви бил мемоарoт на Риман од 1859 година „Бројот на прости броеви помали од дадена вредност“. Ова бил единствениот труд што тој некогаш го напишал и бил поврзан со оваа тема. Риман таму вовел нови идеи - ја поврзал распределбата на простите броеви со нулите на аналитичкото проширување на Римановата зета-функција од комплексна променлива. Конкретно, токму во тој труд првпат е изнесена идејата да се применат методи од комплексната анализа за проучување на реалната функција π(x). Проширувајќи ги идеите на Риман, во истата година (1896) Жак Адамар^[1] и Шарл Жан де ла Вале Пусен^[2], независно еден од друг, објавиле два доказа за асимптотскиот закон за распределбата на простите броеви. И двајцата користеле методи од комплексната анализа, и како главен чекор го користеле резултатот дека Римановата зета функција ζ(s) е различна од нула за сите комплексни вредности на променливата s кои се од облик s = 1 + it, каде t > 0 .^[10]

Во XX век, теоремата на Aдамар и на де ла Вале Пусен станала позната и како Теорема на простите броеви. Постојат неколку различни докази за таа теорема, вклучувајќи ги и „елементарните“ докази на Алте Селберг^[11] и на Пол Ердош^[12] (1949). Оригиналните докази на Адамар и на де ла Вале Пусен се долги и детални. Иако во понатамошните докази биле воведени поедноставувања преку употребата на Тауберовите теореми, тие сепак останале тешко разбирливи. Краток доказ бил откриен во 1980 година од американскиот математичар Доналд Џеј Њуман.^[13][14] Њумановиот доказ е наједноставниот познат доказ за теоремата, иако во него се користи интегралната теорема на Коши од комплексна анализа.

Теренс Тао во едно предавање ја претсавил скицата на доказот.^[15] Како и повеќето докази за ТПБ, тој започнува со преформулирање на проблемот во помалку интуитивна, но подобро воведена функција за броење на прости броеви. Идејата е да се избројат простите броеви (или елементите на некое поврзано множество како што е множеството на степени на простите броеви) со тежини за да се дојде до функција со помазно асимптотско однесување. Најчеста таква генерализирана функција за броење е функцијата на Чебишев ψ(x), дефинирана со

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\geq 1}\!\!\sum _{\stackrel {p^{k}\leq x,}{p{\text{ е прост}}}}\!\!\!\!\ln p\;.}$

Ова понекогаш се запишува како

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\;,}$

каде Λ(n) е функцијата на фон Манголт

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\ln p&{\mbox{ ако }}n=p^{k}{\text{ за некој прост број }}p{\text{ и цел број }}k\geq 1,\\0&{\text{ во друг случај.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle p_{n}\sim n\log(n),}$

Сега е прилично лесно да се провери дали ТПБ е еквивалентна на тврдењето дека

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1\;.}$

Навистина, ова произлегува од леснo изводливите проценки

${\displaystyle \psi (x)=\!\!\!\sum _{\stackrel {p\leq x}{p{\text{ е прост}}}}\!\!\!\!\ln p\left\lfloor {\frac {\ln x}{\ln p}}\right\rfloor \leq \!\!\!\!\sum _{\stackrel {p\leq x}{p{\text{ e прост}}}}\!\!\!\!\ln x=\pi (x)\ln x}$

и користејќи ја ознаката за големо O за ε > 0 ,

${\displaystyle \psi (x)\geq \!\!\!\!\sum _{\stackrel {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ е прост}}}}\!\!\!\!\ln p\geq \!\!\!\!\sum _{\stackrel {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ е прост}}}}\!\!\!\!(1-\varepsilon )\ln x=(1-\varepsilon )\left(\pi (x)+O\left(x^{1-\varepsilon }\right)\right)\ln x\;.}$

Понатаму треба да се најде добра репрезентација за ψ(x). Може да се покаже дека ζ(s) е поврзана со фон Манголтовата функција Λ(n), па оттука и со ψ(x), преку релацијата

${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,n^{-s}\;.}$

Од поврзаните својства на зета функцијата, користејќи ја Мелиновата трансформација и Пероновата формула, се покажува дека за нецел број x важи равенката

${\displaystyle \psi (x)=x\;-\;\log(2\pi )\;-\!\!\!\!\sum \limits _{\rho :\,\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}}$

каде што сумата е над сите тривијални и нетривијални нули на зета-функцијата. Оваа формула е една од таканаречените експлицитни формули на теоријата на броеви и веќе го сугерира на резултатот што сакаме да го добиеме. Бидејќи x (се тврди дека е точниот асимптотски редослед на ψ(x) ) се појавува десно, проследена со асимптотски термини од понизок ред.

Следниот чекор вклучува проучување на нулите на зета-функцијата. Тривијалните нули −2, −4, −6, −8, ... може да се разгледуваат посебно:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n\,x^{2n}}}=-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),}$

кој исчезнува за доволно големи вредности на x. Кога се разгледуваат нетривијалните нули на зета-функцијата, односно оние што се наоѓаат во областа 0≤Re(s)≤1, важно е да се забележи дека овие нули можат да предизвикаат нарушување на асимптотската распределба на простите броеви. Нетривијалните нули, имено оние на делот 0 ≤ Re(s) ≤ 1, можат да бидат од асимптотски ред споредлив со главниот член x ако Re(ρ) = 1, така што треба да покажеме дека сите нули имаат реален дел строго помал од 1.

Земаме дека ζ(s) е мероморфен во полурамнината Re(s) > 0, и е аналитички таму, освен за едноставен пол на s = 1, и дека постои формула за производ

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

за Re(s) > 1. Оваа формула за производ е заснована на единственоста на простата факторизација на целите броеви. Таа покажува дека ζ(s) не може да биде нула во овој регион, со што логаритамот на ζ(s) е добро дефиниран во тој дел од комплексната рамнина и може да се користи за натамошни анализи.

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{ ако }}n=p^{k}{\text{ за некој прост }}p{\text{ и цел број }}k\geq 1,\\0&{\text{ во друг случај.}}\end{cases}}}$

Запишете s = x + iy ; тогаш

${\displaystyle {\begin{aligned}\log n+\log \log n-1\;&<\;{\frac {p_{n}}{n}}&&{\text{ for }}n\geq 2\;,{\text{ and }}\\{\frac {p_{n}}{n}}\;&<\;\log n+\log \log n-0.9484&&{\text{ for }}n\geq 39017\;.\end{aligned}}}$

Сега го набљудуваме идентитетот

${\displaystyle 3+4\cos \phi +\cos 2\phi =2(1+\cos \phi )^{2}\geq 0\;,}$

така што

${\displaystyle \log \zeta (s)=-\sum _{p}\log \left(1-p^{-s}\right)=\sum _{p,n}{\frac {p^{-ns}}{n}}\;.}$

за сите x > 1. Да претпоставиме дека ζ(1 + iy) = 0. Секако y не е еднаков на нула, бидејќи ζ(s) има едноставен пол кога s = 1. Сега, да претпоставиме дека x > 1 и нека x се доближува одозгора кон 1. Меѓутоа, ова води до контрадикција, бидејќи тоа би значело дека функцијата ${\displaystyle \zeta (s)}$ не е аналитичка во таа точка, што го нарушува условот за аналитичност во регионот каде што s = 1 и ζ(x + 2iy). Затоа, претпоставката дека ζ(1+iy)=0 мора да биде погрешна.

Конечно, можеме да заклучиме дека теоријата за простите броеви (ТПБ) е хевристички точна. Меѓутоа, за да се комплетира доказот, преостануваат значајни технички предизвици. Главниот проблем произлегува од тоа што собирањето на зета-нули во експлицитната формула за ψ(x) не е апсолутно конвергентно, туку само условно и во смисла на „главна вредност“. Постојат неколку начини околу овој проблем, но многу од нив бараат прилично деликатни комплексно-аналитички проценки. Книгата на Едвардс ^[16] ги дава деталите. Друг метод е да се користи Тауберовата теорема на Икехара, иако оваа теорема сама по себе е доста тешко да се докаже. Њуман забележал дека целосната сила на теоремата на Икехара не е потребна за теоремата за прости броеви и може да се извлече со посебен случај што е многу полесно да се докаже.

Д. Џ. Њуман дава краток доказ за теоремата за прости броеви. Доказот е „неелементарен“ поради тоа што се потпира на комплексна анализа, но користи само елементарни техники од првиот курс по предметот: интегралната формула на Коши, интегралната теорема на Коши и проценките на сложените интеграли. Видете ^[14] за целосни детали.

Доказот ги користи истите основни претпоставки како во претходниот дел, но со замената на функцијата ${\textstyle \psi }$, со${\textstyle \quad \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$. Оваа функција се добива со исфрлање на некои термини од ${\textstyle \psi }$ . Слично од претходно, може да се покаже дека ϑ  (x) ≤ π(x)log x и ϑ  (x) ≥ (1 - ɛ)(π(x) + O(x^1-ɛ))log x за секој 0 < ɛ < 1.Од овие проценки следува дека${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\vartheta (x)/x=1}$ и теоремата се еквивалентни. Важно е да се забележи дека ${\displaystyle \Phi (s)}$ и ${\displaystyle -\zeta '(s)/\zeta (s)}$ се разликуваат само по една холоморфна функција на правата ${\displaystyle \Re s=1}$. Бидејќи ${\displaystyle \zeta (s)}$ нема нули, а ${\displaystyle \Phi (s)-{\frac {1}{s-1}}}$ нема сингуларитети кога ${\displaystyle \Re s=1}$. Ова својство е важно за користење на функцијата ${\displaystyle \Phi (s)}$ во анализата на распределбата на простите броеви.

Клучна информација за доказот на Њумен, која е основа за проценките во неговиот едноставен метод, е дека изразот ${\displaystyle \vartheta (x)/x}$ е ограничен. Неговиот пристап користи елементарни техники, но е извонредно моќен, бидејќи обезбедува основна контрола врз растот на функцијата ϑ(x) во однос на x. Ова се докажува со помош на генијален и лесен метод поради Чебишев.

Интегрирање по делови ја покажува поврзаноста на ${\displaystyle \vartheta (x)}$ и ${\displaystyle \Phi (s)}$. За ${\displaystyle \Re s>1}$ ,

${\displaystyle \Phi (s)=\int _{1}^{\infty }x^{-s}d\vartheta (x)=s\int _{1}^{\infty }\vartheta (x)x^{-s-1}\,dx=s\int _{0}^{\infty }\vartheta (e^{t})e^{-st}\,dt.}$

Њумановиот метод ја докажува ТПБ со прикажување на интегралот

${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1\right)\,dt.}$

конвергира, што имплицира дека интеграндот мора да оди кон нула кога ${\displaystyle t\to \infty }$, што е бараната теорема. Генерално, конвергенцијата на еден неправилен интеграл не гарантира дека интеграндот оди на нула во бесконечност, бидејќи интеграндот може да осцилира, ова не е проблем тука. Бидејќи ${\displaystyle \vartheta }$ се зголемува, лесно е да се прикаже во овој случај.

За да се прикаже конвергентноста на ${\displaystyle I}$, за ${\displaystyle \Re z>0}$ нека

${\displaystyle g_{T}(z)=\int _{0}^{T}f(t)e^{-zt}\,dt}$ и ${\displaystyle g(z)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-zt}\,dt}$ каде ${\displaystyle f(t)={\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1}$

За прецизно да се каже, нека F = GF(q) е конечното поле со q елементи, за некои фиксен q, и нека N_n е бројот на монични нередуцирани полиноми над F чиј степен е еднаков на n . Односно, гледаме полиноми со коефициенти избрани од F, кои не можат да се напишат како производи на полиноми со помал степен. Во оваа поставка, овие полиноми ја играат улогата на простите броеви, бидејќи сите други монични полиноми се изградени од производи од нив. Тогаш може да се докаже тоа

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(z)=g(z)={\frac {\Phi (s)}{s}}-{\frac {1}{s-1}}\quad \quad {\text{where}}\quad z=s-1}$

што е еднакво на функција холоморфна на правата ${\displaystyle \Re z=0}$ .

Ова важи за секој ${\displaystyle R}$ така ${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)}$, а следи ТПБ.

За прецизно да се каже, нека F = GF(q) е конечното поле со q елементи, за некои фиксен q, и нека N_n е бројот на монични нередуцирани полиноми над F чиј степен е еднаков на n . Односно, гледаме полиноми со коефициенти избрани од F, кои не можат да се напишат како производи на полиноми со помал степен. Во оваа поставка, овие полиноми ја играат улогата на простите броеви, бидејќи сите други монични полиноми се изградени од производи од нив. Тогаш може да се докаже тоа

${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right){\frac {dz}{z}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right)F(z){\frac {dz}{z}}}$

каде ${\displaystyle F(z)=e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right)}$ е фактор кој доаѓа од Њуман. Овој фактор не го менува интегралот.

${\displaystyle \limsup _{T\to \infty }|g(0)-g_{T}(0)|\leq {\frac {2B}{R}}.}$

и ова важи за секој ${\displaystyle R}$, па ${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)}$ и следи теоремата.

Во белешка на трудот на Дирихле од 1838 година „ Sur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres</link> ", која му ја испратил по пошта на Гаус, претпоставува дека уште подобра апроксимација на π(x) е дадена со офсет логаритамската интегрална функција Li(x), дефинирана со

${\displaystyle \vartheta (x)\log(x)+\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}\ \vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)=2x\log(x)+O(x)}$

Навистина, овој интеграл посочува на важната идеја дека „густината“ на простите броеви околу некое t треба да биде приближно 1 / log t . Оваа функција е поврзана со логаритам со асимптотичко проширување

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}=\Omega \left({\sqrt {x}}{\frac {\log \log \log x}{\log x}}\right)}$

Значи, ТПБ може да се запише и како π(x) ~ Li(x). Во друг труд ^[17] во 1899 година, de la Vallée Poussin докажал дека

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

за некоја константа a поголема од нула, каде што O(...) е големата ознака O. Ова е подобрено на

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)\sim {\frac {x}{\log x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\log x)^{k}}}={\frac {x}{\log x}}+{\frac {x}{(\log x)^{2}}}+{\frac {2x}{(\log x)^{3}}}+\cdots }$

Труџијан покажал експлицитна горна граница за разликата меѓу ${\displaystyle \pi (x)}$ и ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ :

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

за ${\displaystyle x\geq 229}$ .^[18]

Врската помеѓу Римановата зета-функција и π(x) е клучна за теоријата на простите броеви, а една од главните причини зошто Римановата хипотеза има толку големо значење е тоа што ако се докаже, ќе обезбеди многу подобра проценка на грешката во врската помеѓу π(x) и x/logx отколку што е достапно денес. Поконкретно, Хелге фон Кох покажал во 1901 година ^[19] дека ако Римановата хипотеза е вистинита, терминот за грешка во горната релација може да се подобри на

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\log x\right)}$

(последново е всушност еквивалентно на Римановата хипотеза). Константата вклучена во O била проценета во 1976 година од Ловел Шенфелд,^[20] претпоставувајќи ја Римановата хипотеза:

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-{\frac {A(\log x)^{\frac {3}{5}}}{(\log \log x)^{\frac {1}{5}}}}\right)\right)}$ каде ${\displaystyle A=0.2098}$ .^[21]

за секој x ≥ 2657 . Исто така, тој извел граница за функцијата за броење прости броење на Чебишев ψ :

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2795{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.455}}}\right)}$

за секој x ≥ 73.2 . Се покажало дека оваа граница изразува варијанта на законот за степен и1 f  бучава и исто така одговара на Твиди Поасон дистрибуција . (Дистрибуциите на Твиди претставуваат фамилија на непроменливи распределби на скалата кои служат како фокуси на конвергенција за генерализација на теоремата на централната граница.^[22]) Долна граница е изведена и од Ј.Е. Литлвуд, претпоставувајќи ја Римановата хипотеза:^[23][24][25]

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}\log x}{8\pi }}}$

Логаритамскиот интеграл li(x) li(x) е поголем од π(x) за „мали“ вредности на x . Тоа е затоа што не брои прости броеви, туку степени на прости броеви, каде што степенот pⁿ на простиот p се брои како1 n  број. Ова сугерира дека li(x) обично треба да биде приближно поголем од π(x) ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x}})\ ,}$ а секогаш треба да биде поголем од π(x). Во 1914 година, Џон Литлвуд докажал резултатот на разликата${\displaystyle \ \pi (x)-\operatorname {li} (x)\ }$ бескрајно променува знак.^[23] Првата вредност на x каде π(x) е поголема од li(x) е околу x ~ 10³¹⁶. (Од друга страна, офсет логаритамски интеграл Li(x) е помал од π(x) веќе за x = 2 ; навистина, Li(2) = 0, додека π(2) = 1 )

Во 20-ти век, некои математичари верувале дека постои хиерархија на методи за докажување во математиката во зависност од тоа какви видови броеви (цели броеви, реални, комплексни) бара доказот. Теоремата за прости броеви е „длабока“ теорема бидејќи бара комплексна анализа.^[9] Ова верување беше донекаде променето од доказот за ТПБ заснован на тавберовата теорема на Винер, иако доказот на Винер на крајот се потпира на својствата на функцијата Риманова зета на линијата. ${\displaystyle {\text{re}}(s)=1}$, каде што мора да се користи комплексна анализа.

Во март 1948 година, Атл Селберг ја воспоставил асимптотичната формула

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}}$

каде

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}\right)\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2.51}{(\log x)^{2}}}\right)\;.}$

за прости броеви p.^[11] Селберг и Пол Ердос ^[12] ја користеле формулата на Селберг како почетна точја и од таму добиле елементарни докази за ТПБ.^[9][26] Овие докази ефикасно ја поставиле идејата дека ТПБ е „длабок“ во таа смисла и покажале дека технички „елементарните“ методи се помоќни отколку што се верувало дека е случај. За историјата на елементарните докази на ТПБ, вклучувајќи го и спорот за приоритетот Ердос-Селберг, видете ја статијата на Доријан Голдфелд .^[9]

Постои одредена дебата за значењето на резултатот на Ердос и Селберг. Иако не користи комплексна анализа, таа е всушност многу по техничка од стандардниот доказ на ТПБ. Една можна дефиниција за „елементарен“ доказ е „онаа што може да се изведе во аритметика од прв ред Пеано “. Постојат теоретски искази на броеви кои се докажуваат со помош на методи од втор ред, но не со методи од прв ред, но таквите теореми се ретки до денес. Доказот на Ердос и Селберг секако може да се формализира во аритметиката Пеано, а во 1994 година, Хараламбос Корнарос и Костас Димитракопулос докажале дека нивниот доказ може да се формализира во многу слаб дел од PA, имено IΔ₀ + exp.^[27] Сепак, ова не го решава прашањето дали стандардниот доказ за ТПБ може да се формализира или не во PA.

Нека ${\displaystyle X}$ да биде компактен метрички простор, ${\displaystyle T}$ континуирана само-мапа на ${\displaystyle X}$, и ${\displaystyle \mu }$ а ${\displaystyle T}$ -инваријантна Борелова мерка на веројатност за која ${\displaystyle T}$ е уникатно ергодичен . Потоа, за секој ${\displaystyle f\in C(X)}$ ,

$${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(T^{\omega (n)}x)\to \int _{X}f\,d\mu ,\quad \forall x\in X.}$$ За докажување на теоремата Пилаи-Селберг и теоремата Ердс-Деланж може да се користат докази за резултати повразни со ТПБ

Avigad et al. го употребил докажувачот на теоремата на Изабел во 2005 година за да осмисли компјутерски проверена варијанта на Ердос-Селберг доказ за ТПБ.^[28] Ова бил првиот машински потврден доказ за ТПБ. Avigad избра да го формализира доказот Ердос-Селберг наместо аналитички бидејќи иако библиотеката на Изабел во тоа време можела да ги имплементира поимите на лимесот, дериват и трансцендентална функција, таа немала речиси никаква теорија на интеграција за која може да зборува.^{[28] :19}

Во 2009 година, Џон Харисон употребил HOL Light за да го формализира доказот кој користи комплексна анализа.^[29] Со развивање на потребната аналитичка машинерија, вклучувајќи ја и интегралната формула на Коши, Харисон можел да формализира „директен, модерен и елегантен доказ наместо по инволвираниот „елементарен“ аргумент на Ердос-Селберг“.

Нека π_d,a(x) е бројот на прости броеви во аритметичката прогресија a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... помали од x . Дирихле и Лежандр претпоставувале, а де ла Вале Пусин докажал дека ако a и d се заемно прости броеви, тогаш

${\displaystyle \pi _{d,a}(x)\sim {\frac {\operatorname {Li} (x)}{\varphi (d)}}\ ,}$

каде φ е Ојлеровата функција. Односно, простите броеви се рамномерно распределени меѓу класите на остатоци [a] modulo d кога a и d се заемно прости броеви. Ова е посилно од теоремата на Дирихле за аритметички прогресии (која само вели дека има бесконечно прости броеви во секоја класа) и може да се докаже со користење на методи слични на оние што ги користел Њуман за докажување на ТПБ.^[30]

Добра проценка за тоа како се распределни простите броеви во класите на остатоци дава Теоремата Зигел-Валфис.

Bennett et al ^[31] ја докажале следнава проценка која содржи константи A и B (теорема 1.3): Нека d ${\displaystyle \geq 3}$ биде цел број заемно прост со цел број a. Тогаш има позитивни константи A и B такви што

${\displaystyle \left|\pi _{d,a}(x)-{\frac {\ \operatorname {Li} (x)\ }{\ \varphi (d)\ }}\right|<{\frac {A\ x}{\ (\log x)^{2}\ }}\quad {\text{ for all }}\quad x\geq B\ ,}$

каде μ(k) е функцијата Möbius. (Оваа формула му била позната на Гаус.) Главниот дел се јавува за d = n, и не е тешко да се врзат останатите членови. Исказот „Риманова хипотеза“ зависи од фактот дека најголемиот вистински делител на n не може да биде поголем од n2.

${\displaystyle A={\frac {1}{\ 840\ }}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{4}\quad {\text{ and }}\quad A={\frac {1}{\ 160\ }}\quad {\text{ if }}\quad d>10^{4}~,}$

Табелата ги споредува точните вредности на π(x) со двете приближувања x / log x и li(x) . Колоните за разлика во приближувањето се заокружуваат до најблискиот цел број, но колоните „% грешка“ се пресметуваат врз основа на незаокружените приближувања. Последната колона, x / π(x), е просечниот прост размак под x .

${\displaystyle B=8\cdot 10^{9}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{5}\quad {\text{ and }}\quad B=\exp(\ 0.03\ {\sqrt {d\ }}\ (\log {d})^{3}\ )\quad {\text{ if }}\quad d>10^{5}\ .}$

Иако имаме

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x)~,}$

Табелата ги споредува точните вредности на π(x) со двете приближувања x / log x и li(x) . Колоните за разлика во приближувањето се заокружуваат до најблискиот цел број, но колоните „% грешка“ се пресметуваат врз основа на незаокружените приближувања. Последната колона, x / π(x), е просечниот прост размак под x .

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x)~,}$

така што водството во трката се менува напред-назад бесконечно многу пати. Феноменот дека π_4,3(x) е во најголем дел од времето се нарекува пристрасност на Чебишев. Пал Туран се прашувал дали секогаш се случува π(x;a,c) и π(x;b,c) да ги менуваат местата кога a и b се заемно прости на c.^[32] Гранвил и Мартин даваат темелно истражување на ова прашање.^[33]

Интересен феномен е распределбата на последната цифра од прости броеви. Освен 2 и 5, сите прости броеви завршуваат на 1, 3, 7 или 9. Според теоремата на Дирихле за прогресиите во аритметиката, 25% од сите прости броеви завршуваат на секоја од четирите цифри 1, 3, 7, или 9. Сепак, докази покажуваат дека бројот на прости броеви што завршуваат на 3 или 7 помали од n има тенденција да биде малку поголем од бројот на прости броеви што завршуваат на 1 или 9 помали од n.^[34] Од тука се добива дека 1 и 9 се квадратни остатоци модуло 10, а 3 и 7 не се квадратни модуло 10.

Теоремата за прости броеви е асимптотички резултат. Неефективна граница на π(x) е добиена како директна последица на дефиницијата на границата: за ε > 0, постои S таков што за секој x > S ,

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;<\;\pi (x)\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;.}$

Но, постојат и подобри граници на π(x), на пример онаа на Пјер Дусарт

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-(1-\varepsilon )}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-(1+\varepsilon )}}\;.}$

Левата неравенка важи за броеви x ≥ 599, а десната за броеви x ≥ 355991 .

Доказот на Poussin ја подразбира следнава граница: За ε > 0, постои S такво што за сите x > S ,

${\displaystyle {\frac {x}{\log x+2}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-4}}\;.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{\log x-1}}\;&<\;\pi (x)&&{\text{ for }}x\geq 5393\;,{\text{ and }}\\\pi (x)&<\;{\frac {x}{\log x-1.1}}&&{\text{ for }}x\geq 60184\;.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{\log x-1}}\;&<\;\pi (x)&&{\text{ for }}x\geq 5393\;,{\text{ and }}\\\pi (x)&<\;{\frac {x}{\log x-1.1}}&&{\text{ for }}x\geq 60184\;.\end{aligned}}}$

Може да се забележи дека првиот од овие го застарува условот ε > 0 на долната граница.

Последица на ТПБ е изразот за n -тиот прост број, означен со p_n :

${\displaystyle p_{n}>n\log n.}$

Подобра апроксимација е ^[35]

${\displaystyle p_{n}\sim n\log n.}$ ^[36]

За 2⋅10¹⁷ -тиот прост број 8.512.677.386.048.191.000 дава проценка од 8.512.681.315.554.716.000; првите 5 цифри се совпаѓаат и релативната грешка е околу 0,00005%.

Росеровата теорема го вели тоа

${\displaystyle p_{n}>n\log n.}$

Ова може да се подобри со следниве граници:^[37][38]

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{n}}=\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}-{\frac {(\log \log n)^{2}-6\log \log n+11}{2(\log n)^{2}}}+o\left({\frac {1}{(\log n)^{2}}}\right).}$

Табелата ги споредува точните вредности на π(x) со двете апроксимации. Колоните за разлика во апроксимациите се заокружуваат до најблискиот цел број, но колоните „% грешка“ се пресметуваат врз основа на точните апроксимации. Во последната колона, x / π(x), е претставен просечниот прост размак подолу x .

Вредноста за π(10²⁴) првично била пресметана со претпоставување дека Римановата хипотеза важи;^[39] оттогаш е потврдена безусловно.^[40]

Постои аналог на ТПБ што ја опишува „распределбата“ на несводливите полиноми над конечно поле; формата што ја има е неверојатно слична на случајот со класичната теорема за прости броеви.

Нека F = GF(q) е конечно поле со q елементи, за некој фиксни q. Нека N_n е бројот на монични нередуцирани полиноми над F, со степен n . Односно, гледаме полиноми со коефициенти од F, кои не можат да се напишат како производи на полиноми со помал степен. Вака, полиномите ја играат улогата на простите броеви, бидејќи сите други монични полиноми се добиваат како производи од нив. Тогаш може да се докаже тоа

${\displaystyle N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}.}$

Да замениме со x = qⁿ, тогаш десната страна е правилна

${\displaystyle {\frac {x}{\log _{q}x}},}$

што ја прави аналогијата појасна. Бидејќи има точно qⁿ монични полиноми со n-ти степен, ги вклучуваме и редуцираните, ова може да се реформулира во: ако моничен полином од степен n е избран проивзолно, тогаш веројатноста тој да биде нередуциран е околу 1n 

Може дури и аналогот на Римановата хипотеза да се докаже, имено тоа

${\displaystyle N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{\frac {n}{2}}}{n}}\right).}$

Доказите за овие изјави се многу поедноставни отколку во класичниот случај. Секој елемент од степенот n продолжување на F е корен од некој нередуциран полином чиј степен d го дели n; со броење на овие корени на два различни начини се утврдува дека

${\displaystyle q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d},}$

каде сумата е за сите d делители на n, Инверзијата на Möbius тогаш повлекува

${\displaystyle N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)q^{d},}$

каде μ(k) е функцијата Möbius, веќе позната на Гаус. Главниот термин се јавува кога d = n, и не е тешко да се врзат останатите членови. Исказот „Риманова хипотеза“ зависи од фактот дека најголемиот правилен делител на n не може да биде поголем од n2.

• Апстрактна аналитичка теорија на броеви за информации за генерализации на теоремата.
• Ландау прости идеална теорема за генерализација на прости идеали во полињата со алгебарски броеви.
• Риманова хипотеза

• Granville, Andrew (1995). „Harald Cramér and the distribution of prime numbers“ (PDF). Scandinavian Actuarial Journal. 1: 12–28. CiteSeerX 10.1.1.129.6847. doi:10.1080/03461238.1995.10413946. Архивирано од изворникот (PDF) на 2015-09-23. Посетено на 2024-11-15.
• Hardy, G.H.; Littlewood, J.E. (1916). „Contributions to the theory of the Riemann zeta-function and the theory of the distribution of primes“. Acta Mathematica. 41: 119–196. doi:10.1007/BF02422942.
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1st ed. 1938], An Introduction to the Theory of Numbers, Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman, with a foreword by Andrew Wiles (6th. изд.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921985-8
• Narkiewicz, Władysław (2000), The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-13157-2, ISBN 978-3-540-66289-1, ISSN 1439-7382

• Hazewinkel, Michiel, уред. (2001) [1994], „Distribution of prime numbers“, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Table of Primes by Anton Felkel.
• Short video visualizing the Prime Number Theorem.
• Prime formulas and Prime number theorem at MathWorld.
• How Many Primes Are There? Архивирано на 15 октомври 2012 г. Archived 2012-10-15 at the Wayback Machine and The Gaps between Primes by Chris Caldwell, University of Tennessee at Martin.
• Tables of prime-counting functions by Tomás Oliveira e Silva
• Eberl, Manuel and Paulson, L. C. The Prime Number Theorem (Formal proof development in Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs)
• The Prime Number Theorem: the "elementary" proof − An exposition of the elementary proof of the Prime Number Theorem of Atle Selberg and Paul Erdős at www.dimostriamogoldbach.it/en/