Алгебра Пуассона

Алгебра Пуассона — ассоциативная алгебра со скобкой Ли, которая также удовлетворяет тождеству Лейбница; то есть скобка также является дифференцированием. Алгебры Пуассона естественным образом появляются в гамильтоновой механике, а также играют центральную роль в изучении квантовых групп. Многообразия со структурой алгебры Пуассона известны как многообразия Пуассона, частным случаем которых являются симплектические многообразия и группы Пуассона — Ли. Названа в честь Симеона Дени Пуассона.

Символически алгебру Пуассона можно определить как векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, снабжённое двумя билинейными произведениями ${\displaystyle \cdot }$ и ${\displaystyle \{\dots \}}$ со следующими свойствами:

• произведение ${\displaystyle \cdot }$ образует ассоциативную ${\displaystyle K}$-алгебру;
• произведение ${\displaystyle \{\dots \}}$ (называемое скобкой Пуассона) образует алгебру Ли, поэтому оно антикоммутативно и удовлетворяет тождеству Якоби;
• скобка Пуассона действует как дифференцирование ассоциативного произведения ${\displaystyle \cdot }$, так что для любых трёх элементов ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ выполнено: ${\displaystyle \{x,y\cdot z\}=\{x,y\}\cdot z+y\cdot \{x,z\}}$.

• Y. Kosmann-Schwarzbach^[фр.]. Poisson algebra  (неопр.). Encyclopedia of Mathematics (2011).
• Bhaskara K. H, Viswanath K. Poisson algebras and Poisson manifolds. — Longman, 1988. — ISBN 0-582-01989-3.