Симплектическое многообразие

Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой.

Важнейшим примером симплектического многообразия является кокасательное расслоение ${\displaystyle T^{*}M}$. Симплектическая структура позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам: если ${\displaystyle M}$ — конфигурационное пространство механической системы, то ${\displaystyle T^{*}M}$ — соответствующее ему фазовое пространство.

Дифференциальная 2-форма ${\displaystyle \omega }$ называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю,

${\displaystyle d\omega =0,}$

и для любого ненулевого касательного вектора ${\displaystyle v\in T_{x}M}$ найдётся вектор ${\displaystyle w\in T_{x}M}$ такой, что

${\displaystyle \omega (v,w)\neq 0.}$

Многообразие ${\displaystyle M}$ с заданной на нём симплектической формой называется симплектическим многообразием.

• Из определения следует, что симплектическое многообразие имеет чётную размерность.
• Если размерность ${\displaystyle M}$ равна ${\displaystyle 2n}$, то невырожденость формы ${\displaystyle \omega }$ эквивалентна условию ${\displaystyle \omega ^{\wedge n}\neq 0}$.

• Диффеоморфизм симплектических многообразий ${\displaystyle f\colon M\to N}$ называется симплектоморфизмом, если он сохраняет симплектическую структуру.

• Пусть ${\displaystyle H\colon M\to \mathbb {R} }$ — произвольная гладкая функция на симплектическом многообразии. Симплектическая форма ставит в соответствие функции ${\displaystyle H}$ векторное поле ${\displaystyle V_{H}}$, определяемое следующим тождеством:

  ${\displaystyle dH(X)=\omega (V_{H},X).}$

  • Это определение аналогично определению градиента и иногда ${\displaystyle V_{H}}$ называется симплектическим градиентом функции ${\displaystyle H}$.
  • Поле ${\displaystyle V_{H}}$, которое можно получить таким образом называется гамильтоновым.
  • В силу невырожденности формы ${\displaystyle \omega }$ векторное поле ${\displaystyle V_{H}}$ определено однозначно. В координатах Дарбу это отображение принимает вид

  ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }},\quad {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }},}$

соответствующий уравнениям Гамильтона, при этом ${\displaystyle H}$ называется гамильтонианом (функцией Гамильтона).

• Скобки Пуассона превращают множество гамильтонианов на ${\displaystyle M}$ в алгебру Ли и определены по правилу

${\displaystyle [F,G]=\omega (V_{F},V_{G}).}$

• Теорема Дарбу: все симплектические многообразия локально симплектоморфны. Таким образом, в окрестности любой точки многообразия можно выбрать координаты, называемые координатами Дарбу, в которых симплектическая форма имеет вид

  ${\displaystyle \omega =d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q} }$

При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран базис Дарбу.

• Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру (следует из формулы Картана):

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V_{H}}\,\omega =0}$

Здесь ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V_{H}}}$ — производная Ли по векторному полю ${\displaystyle V_{H}}$. Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом.

• В частности, поскольку ${\displaystyle \omega ^{\wedge n}}$ — форма объёма на ${\displaystyle M}$, то получаем теорему Лиувилля о сохранении фазового объёма:

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V_{H}}\omega ^{\wedge n}=0.}$

С каждым симплектическим ${\displaystyle 2n}$-мерным многообразием каноническим образом связано ${\displaystyle (2n+1)}$-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого ${\displaystyle (2n+1)}$-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся ${\displaystyle (2n+2)}$-мерным многообразием.

Многообразие называется мультисимплектическим степени ${\displaystyle k}$, если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k-форма.

• Симплектическое пространство

• Д. В. Аносов. «О развитии теории динамических систем». Симплектическая геометрия.
• Лекция 5: Скобки Пуассона, дифференциальные формы и поливекторы 2013

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-е изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
• Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. — Киев: TIMPANI, 2004. — 1040 с.
• Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Изд. МГУ, 1988. — 414с.