Антиэрмитова матрица

Антиэрмитова матрица (косоэрмитова матрица) — квадратная матрица ${\displaystyle A}$, эрмитово сопряжение которой меняет знак исходной матрицы:

${\displaystyle A^{*}=-A}$,

или поэлементно:

${\displaystyle a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}}}}$,

где через ${\displaystyle {\overline {x}}}$ обозначено комплексное сопряжение числа ${\displaystyle x}$.

Матрица ${\displaystyle B}$ эрмитова тогда и только тогда, когда матрица ${\displaystyle iB}$ антиэрмитова. Отсюда следует, что если ${\displaystyle A}$ — антиэрмитова, то матрицы ${\displaystyle \pm iA}$ эрмитовы. Также любая антиэрмитова матрица ${\displaystyle A}$ может быть представлена в виде ${\displaystyle A=iB}$, где ${\displaystyle B}$ — эрмитова. Таким образом, свойства антиэрмитовых матриц могут быть выражены при помощи свойств эрмитовых и наоборот.

Матрица ${\displaystyle A}$ антиэрмитова тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X^{*}A^{*}Y=-X^{*}AY}$ для любых векторов ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ (форма ${\displaystyle X^{*}AY}$ — антиэрмитова).

Антиэрмитовы матрицы замкнуты относительно сложения, умножения на вещественное число, возведения в нечётную степень, обращения (невырожденных матриц).

Антиэрмитовы матрицы являются нормальными.

Чётная степень антиэрмитовой матрицы является эрмитовой матрицей. В частности, если ${\displaystyle A}$ — антиэрмитова, то ${\displaystyle A^{2}}$ — эрмитова.

Собственные числа антиэрмитовой матрицы либо нулевые, либо чисто мнимые.

Любую квадратную матрицу можно представить как сумму эрмитовой и антиэрмитовой ${\displaystyle M=M_{h}+M_{a}}$, где:

${\displaystyle M_{h}={\frac {1}{2}}(M+M^{*})}$ — эрмитова,

${\displaystyle M_{a}={\frac {1}{2}}(M-M^{*})}$ — антиэрмитова.

Матрица ${\displaystyle A}$ антиэрмитова тогда и только тогда, когда её экспонента ${\displaystyle e^{A}}$ унитарна.

Антиэрмитовы матрицы образуют алгебру Ли ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$ группы Ли ${\displaystyle U(n)}$.

Для любого комплексного числа ${\displaystyle \lambda }$ такого, что ${\displaystyle |\lambda |=1}$, существует взаимно однозначное соответствие между унитарными матрицами ${\displaystyle U}$, не имеющих собственных чисел равных ${\displaystyle a}$, и антиэрмитовыми матрицами ${\displaystyle A}$, задаваемое формулами Кэли:

${\displaystyle U=\lambda (A-I)(A+I)^{-1}}$,

${\displaystyle A=\lambda (aI+U)(aI-U)^{-1}}$,

где ${\displaystyle I}$ — единичная матрица.

В частности, при ${\displaystyle \lambda =-1}$:

${\displaystyle U=(I-A)(I+A)^{-1}}$,

${\displaystyle A=(I-U)(I+U)^{-1}}$.

• Brookes, M., «The Matrix Reference Manual», Imperial College, London, UK