Нормальная матрица

Нормальная матрица — комплексная квадратная матрица ${\displaystyle A}$, коммутирующая со своей эрмитово-сопряжённой матрицей:

${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$.

Для вещественной матрицы ${\displaystyle A}$ имеет место ${\displaystyle A^{*}=A^{T}}$, и поэтому она нормальна, если ${\displaystyle A^{T}A=AA^{T}}$.

Нормальность является удобным тестом приводимости к диагональной форме — матрица нормальна тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице, а потому любая матрица ${\displaystyle A}$, удовлетворяющая уравнению ${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$, допускает приведение к диагональной форме. (Две матрицы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются унитарно подобными, если существует унитарная матрица ${\displaystyle S}$, для которой ${\displaystyle A=S^{-1}BS}$.)

Понятие нормальной матрицы можно распространить на нормальные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах и нормальные элементы в C*-алгебрах.

Среди комплексных матриц все унитарные, эрмитовы и косоэрмитовы матрицы нормальны. Среди вещественных матриц все ортогональные, симметричные и кососимметричные матрицы нормальны. Однако неверно, что все нормальные матрицы либо унитарны, либо эрмитовы, либо косоэрмитовы. Например:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}}$

не является ни унитарной, ни эрмитовой, ни косоэрмитовой, хотя и нормальна, поскольку:

${\displaystyle AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A}$.

Существует большой набор эквивалентных определений нормальной матрицы, в частности, следующие высказывания эквивалентны:

• ${\displaystyle A}$ нормальна;
• ${\displaystyle A}$ является приводимой к диагональной форме^[англ.] с помощью унитарной матрицы;
• все точки пространства можно получить как линейные комбинации некоторого набора ортонормальных собственных векторов матрицы ${\displaystyle A}$;
• ${\displaystyle \left\|Ax\right\|=\left\|A^{*}x\right\|}$ для любого ${\displaystyle x}$.
• норму Фробениуса матрицы ${\displaystyle A}$ можно вычислить по собственным значениям матрицы ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle \operatorname {tr} (A^{*}A)=\sum \nolimits _{j}|\lambda _{j}|^{2}}$;
• эрмитова часть ${\displaystyle (A+A^{*})/2}$ и косоэрмитова часть ${\displaystyle (A-A^{*})/2}$ матрицы ${\displaystyle A}$ коммутируют;
• ${\displaystyle A^{*}}$ является многочленом (степени менее ${\displaystyle n}$ — размера матрицы) от ${\displaystyle A}$^[1];
• ${\displaystyle A^{*}=AU}$ для некоторой унитарной матрицы ${\displaystyle U}$^[2].
• ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle P}$ коммутируют, где ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle P}$ представляют полярное разложение ${\displaystyle A=UP}$ на унитарную матрицу ${\displaystyle U}$ и некую положительно определённую матрицу ${\displaystyle P}$;
• ${\displaystyle A}$ коммутирует с некоторой нормальной матрицей ${\displaystyle N}$, имеющей различные собственные значения;
• ${\displaystyle \sigma _{i}=\left|\lambda _{i}\right|}$ для всех ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}$, где ${\displaystyle A}$ имеет сингулярные числа ${\displaystyle \sigma _{1}\geqslant \dots \geqslant \sigma _{n}}$ и собственные значения ${\displaystyle \left|\lambda _{1}\right|\geqslant \dots \geqslant \left|\lambda _{n}\right|}$^[3]
• операторная норма нормальной матрицы ${\displaystyle A}$ равна числовому^[англ.] и спектральному радиусу матрицы ${\displaystyle A}$; это означает:

  ${\displaystyle \sup _{\|x\|=1}\|Ax\|=\sup _{\|x\|=1}|\langle Ax,x\rangle |=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (A)\}}$.

Многие из этих определений можно обобщить до нормальных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах, но не все, например, ограниченный оператор, удовлетворяющий условию коммутируемости компонент полярного разложения, является в общем случае лишь квазинормальным^[англ.].

Нормальная треугольная матрица диагональна.

В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно будет нормальной матрицей; однако если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ нормальны и выполнено ${\displaystyle AB=BA}$, то и ${\displaystyle AB}$, и ${\displaystyle A+B}$ также нормальны. Более того, существует унитарная матрица ${\displaystyle U}$, такая, что ${\displaystyle UAU^{*}}$ и ${\displaystyle UBU^{*}}$ диагональны. Другими словами, ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ совместно приводимы к диагональной форме^[англ.].

В этом частном случае столбцы матрицы ${\displaystyle U^{*}}$ являются собственными векторами, как ${\displaystyle A}$, так и ${\displaystyle B}$, и образуют ортонормальный базис в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Утверждение следует из теорем, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы совместно приводимы к треугольному виду^[англ.] и что нормальная матрица приводима к диагональной, в последнем случае с дополнением, что это можно сделать одновременно.

Понятие нормальности важно, поскольку нормальные матрицы — это в точности те, которых касается спектральная теорема: матрица ${\displaystyle A}$ нормальна тогда и только тогда, когда существует диагональная матрица ${\displaystyle \Lambda }$ и унитарная матрица ${\displaystyle U}$, такие что ${\displaystyle A=U\Lambda U^{*}}$. Диагональные элементы матрицы ${\displaystyle \Lambda }$ являются собственными числами, а столбцы ${\displaystyle U}$ — собственными векторами матрицы ${\displaystyle A}$. (Собственные значения в ${\displaystyle \Lambda }$ идут в том же порядке, что и соответствующие им собственные вектора в ${\displaystyle U}$).

Другим способом высказать утверждение спектральной теоремы является утверждение, что нормальные матрицы — это в точности те матрицы, которые можно представить в виде диагональной матрицы путём выбора подходящего ортонормального базиса пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Также можно утверждать, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда её собственное пространство совпадает с ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ и собственные вектора ортогональны по стандартному скалярному произведению в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

Спектральная теорема для нормальных матриц является специальным случаем более общего разложения Шура, которое выполняется для всех квадратных матриц. Пусть ${\displaystyle A}$ — квадратная матрица. Тогда, согласно разложению Шура, она унитарно подобна верхней треугольной матрице, скажем, ${\displaystyle B}$. Если ${\displaystyle A}$ нормальна, то и ${\displaystyle B}$ нормальна тоже. Но тогда ${\displaystyle B}$ должна быть диагональной по причине, изложенной выше.

Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы в терминах спектра, например:

• нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда её спектр лежит на единичном круге комплексной плоскости;
• нормальная матрица является самосопряжённой тогда и только тогда, когда её спектр содержится в ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Можно рассматривать связи различных видов нормальных матриц как аналоги различных видов комплексных чисел:

• обратимые матрицы являются аналогом ненулевых комплексных чисел;
• эрмитово-сопряжённая матрица является аналогом сопряжённого числа;
• унитарные матрицы является аналогом комплексных чисел с абсолютной величиной ${\displaystyle 1}$;
• эрмитовы матрицы являются аналогами вещественных чисел;
• эрмитовы положительно определённые матрицы являются аналогами положительных вещественных чисел;
• антиэрмитовы матрицы являются аналогами чисто мнимых чисел.

Можно комплексные числа вложить в нормальные вещественные матрицы размера ${\displaystyle 2\times 2}$ путём отображения

${\displaystyle a+bi\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}}$,

и при этом вложении сохраняются сложение и умножение и все соответствующие аналогии между видами нормальных матриц и видами комплексных чисел.

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.

У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить: Необходимо проверить качество перевода c неуказанного языка, исправить содержательные и стилистические ошибки. Вы можете помочь улучшить эту статью (см. также рекомендации по переводу). Оригинал не указан. Пожалуйста, укажите его. (23 июня 2014) Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. (23 июня 2014) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.