Асимптотическое разложение

Асимптотическое разложение функции f(x) — формальный функциональный ряд, такой, что сумма произвольного конечного числа членов этого ряда приближает (аппроксимирует) функцию f(x) в окрестности некоторой (возможно, бесконечно удалённой) её предельной точки. Понятие асимптотического разложения функции и асимптотического ряда были введены Анри Пуанкаре при разрешении задач небесной механики. Отдельные случаи асимптотического разложения были открыты и применялись ещё в XVIII в. Асимптотические разложения и ряды играют важную роль в различных задачах математики, механики и физики.

Пусть функции ${\displaystyle \varphi _{n}}$ удовлетворяют свойству: ${\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ (x\rightarrow L)\quad \forall n\in \mathbb {N} }$ для некоторой предельной точки ${\displaystyle L}$ области определения функции f(x). Последовательность функций ${\displaystyle \varphi _{n}}$, удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)}$, для которого выполняются условия :${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=O(\varphi _{N}(x))\ (x\rightarrow L)}$

или эквивалентно:

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\varphi _{N-1}(x))\ (x\rightarrow L).}$

называется асимптотическим разложением функции f (x) или её асимптотическим рядом. Этот факт отражается:

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\rightarrow L).}$

Отличие сходящегося ряда и асимптотического разложения для функции ${\displaystyle f(x)}$ можно проиллюстрировать так: для сходящегося ряда при любом фиксированном ${\displaystyle x}$ ряд сходится в значение ${\displaystyle f(x)}$ при ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$, тогда как при асимптотическом разложении при фиксированном ${\displaystyle N}$ ряд сходится в значение ${\displaystyle f(x)}$ в пределе ${\displaystyle x\rightarrow L}$ (${\displaystyle L}$ может быть и бесконечным).

Асимптотическое разложение Эрдейи имеет более общее определение. Ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)}$ называется асимптотическим разложением Эрдейи функции f (x), если существует такая асимптотическая последовательность ${\displaystyle \psi _{n}}$, что

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\psi _{N}(x))\ (x\rightarrow L).}$

Этот факт записывается в следующем виде:

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\rightarrow L)\quad \{\psi _{n}(x)\}.}$

Такое обобщённое разложение имеет много общих свойств с обычным асимптотическим разложением, однако теория такого разложения плохо изучена, часто мало полезна для числовых вычислений и редко используется.

• Гамма-функция

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\rightarrow \infty )}$

• Интегральная показательная функция

${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\rightarrow \infty )}$

• Дзета-функция Римана

${\displaystyle \zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}-{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}}$
где ${\displaystyle B_{2m}}$ — числа Бернулли и ${\displaystyle s^{\overline {2m-1}}=s(s+1)(s+2)\cdots (s+2m-2)}$. Это разложение справедливо для всех комплексных s.

• Функция ошибок

${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.}$

• Примером асимптотического разложения Эрдейи, которое не является обычным разложением, служит^[1]:

${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!e^{-(n+1)x/2n}}{(\log x)^{n}}}\quad (x\rightarrow \infty )\ \{(\log x)^{-n}\}.}$

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.
• Эрдейи А. Асимптотические разложения / Пер. с англ. — М., 1962
• Копсон Э. Асимптотические разложения / Пер. с англ. — М., Мир, 1966.
• Bleistein, N. and Handlesman, R., Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975