Взаимнокорреляционная функция

Взаимнокорреляционная функция — корреляционная функция двух различных сигналов^[1].

Для непрерывных функций $f(t)$ и $g(t)$ взаимнокорреляционная функция определяется как:

B(\tau )=(f\star g)(\tau ){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(t)\ g(t+\tau )\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(t-\tau )\ g(t)\,dt,

Для дискретных функций:

(f\star g)_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}f_{j}^{*}\,g_{i+j}

,

где $i$ — сдвиг между последовательностями относительно друг друга, а верхний индекс в виде звёздочки означает комплексное сопряжение.

Если $X$ и $Y$ — две независимые случайные величины, имеющие плотности вероятности соответственно $f(x)$ и $g(y)$ , то плотность вероятности разности этих случайных величин $Y-X$ равна взаимной корреляции функций $f$ и $g$ . При этом плотность вероятности суммы случайных величин $Y+X$ равна свертке функций $f$ и $g$ ^[2].

Свойства

Взаимная корреляция и свёртка взаимосвязаны:

f(t)\star g(t)=f^{*}(-t)*g(t)

поэтому, если функции $f$ и $g$ чётны, то

(f\star g)=f*g

Также: $(f\star g)\star (f\star g)=(f\star f)\star (g\star g)$

По аналогии с теоремой свёртки преобразование Фурье от взаимной корреляции равно:

{\mathcal {F}}[f\star g]={\mathcal {F}}^{*}[f]\cdot {\mathcal {F}}[g],

где ${\mathcal {F}}$ означает преобразование Фурье. Данное свойство часто используется вместе с алгоритмами быстрого преобразования Фурье для эффективного вычисления величины взаимной корреляции.

Используется при обработке сигналов, например, для распознавания отраженного от объекта локационного сигнала (радаров, сонаров) в условиях помех. Также используется для анализа случайных процессов, например, в измерениях и статистике.