Преобразование Фурье

Преобразование Фурье
Краткое имя или название	FT
Названо в честь	Жан-Батист Жозеф Фурье
Определяющая формула	${\displaystyle {\mathcal {F}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t}$[1]
Обозначение в формуле	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle \omega }$
Обратно к	обратное преобразование Фурье[вд]
Медиафайлы на Викискладе

Преобразование Фурье́ (символ ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую (вообще говоря, комплекснозначную) функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

В математике преобразование Фурье функции f, зависящей от одной вещественной переменной, является интегральным и задаётся следующей формулой^[2]:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx,}$

где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица.

Тогда «формула обращения» (обратное преобразование Фурье) имеет вид:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega x}\,d\omega }$

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний ${\displaystyle e^{i\omega x}}$ с частотами ${\displaystyle \omega }$, амплитудами ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}|{\hat {f}}(\omega )|}$ и фазовыми сдвигами ${\displaystyle \arg {\hat {f}}(\omega )}$ соответственно.

В радиотехнике (обработке сигналов) преобразование Фурье задаётся без множителя ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$^[3]:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx.}$

Тогда «формула обращения» (обратное преобразование Фурье) имеет вид:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega x}\,d\omega }$

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса ${\displaystyle L_{1}(\mathbb {R} )}$, преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

• Преобразование Фурье является линейным оператором:

${\displaystyle {\widehat {(\alpha f+\beta g)}}=\alpha {\hat {f}}+\beta {\hat {g}}.}$

• Справедливо равенство Парсеваля: если ${\displaystyle f\in L_{1}(\mathbb {R} )\cap L_{2}(\mathbb {R} )}$, то преобразование Фурье сохраняет ${\displaystyle L_{2}}$-норму:

при наличии множителя ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ в преобразовании Фурье:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{{\hat {f}}(w)}|^{2}\,d\omega .}$

при отсутствии множителя ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ в преобразовании Фурье:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{{\hat {f}}(w)}|^{2}\,d\omega .}$

Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} )}$.

Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех ${\displaystyle f\in L_{2}(\mathbb {R} )}$.

• Теорема о свёртке: если ${\displaystyle f,\;g\in L_{1}(\mathbb {R} )}$, тогда

при наличии множителя ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ в преобразовании Фурье:

${\displaystyle {\widehat {(f\ast g)}}={\sqrt {2\pi }}{\widehat {f}}{\widehat {g}}}$,

при отсутствии множителя ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ в преобразовании Фурье:

${\displaystyle {\widehat {(f\ast g)}}={\widehat {f}}{\widehat {g}}}$,

где

${\displaystyle f\ast g=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(s)g(t-s)\,ds}$ — свертка функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$.

Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и дифференцирование. Если ${\displaystyle f,\;f'\in L_{1}(\mathbb {R} )}$, то

${\displaystyle {\widehat {(f')}}=i\omega {\widehat {f}}.}$

Из этой формулы легко выводится формула для ${\displaystyle n}$-й производной:

${\displaystyle {\widehat {(f^{(n)})}}=(i\omega )^{n}{\widehat {f}}.}$

Формулы верны и в случае обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и сдвиг.

${\displaystyle {\widehat {f(x-x_{0})}}=e^{-i\omega x_{0}}{\hat {f}}(\omega ).}$

Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функцией ${\displaystyle \delta (x-x_{0})}$, а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.

• Преобразование Фурье и растяжение.

${\displaystyle {\widehat {f(ax)}}=|a|^{-1}{\hat {f}}(\omega /a).}$

• Формула суммирования Пуассона для принятого в данной статье определения:

при наличии множителя ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ в преобразовании Фурье:

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k)={\sqrt {2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(2\pi n)}$

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}\left(k\right)={\sqrt {2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }f\left(2\pi n\right)}$

при отсутствии множителя ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ в преобразовании Фурье:

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(2\pi n)}$

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}\left(k\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }f\left(2\pi n\right)}$

Данные формулы могут быть получены из классической формулы суммирования Пуассона^[англ.], которая задана для другой формы определения преобразования Фурье.

• Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):

${\displaystyle S(\mathbb {R} ):=\left\{\varphi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ):\forall n,\;m\in \mathbb {N} \;x^{n}\varphi ^{(m)}(x){\xrightarrow {x\to \infty }}0\right\}.}$

Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство ${\displaystyle S^{*}(\mathbb {R} )}$. Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции ${\displaystyle f\in S^{*}(\mathbb {R} )}$ её преобразованием Фурье называется обобщённая функция ${\displaystyle {\hat {f}}\in S^{*}(\mathbb {R} )}$, действующая на основные функции по правилу

${\displaystyle \langle {\hat {f}},\;\varphi \rangle =\langle f,\;{\hat {\varphi }}\rangle .}$

Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции (при наличии множителя ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ в преобразовании Фурье):

${\displaystyle \langle {\hat {\delta }},\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hat {\varphi }}\rangle =\left\langle \delta ,\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\cdot 1\,dx=\left\langle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\;\varphi \right\rangle .}$

Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$.

Рассмотрим сигнал ${\displaystyle x(t)}$, для которого преобразование Фурье имеет вид: ${\displaystyle F(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i\omega t}dt}$.

Перейдя от частоты ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ к частоте ${\displaystyle f}$ получим: ${\displaystyle F(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt}$.

Чем больше концентрация сигнала ${\displaystyle x(t)}$ во временной области, тем более размазанным должен быть модуль его преобразования Фурье ${\displaystyle |F(f)|}$. В частности, свойство масштабирования преобразования Фурье можно представить так: если сжать функцию в t раз, то её преобразование Фурье растягивается в f раз. Невозможно произвольно сконцентрировать как функцию, так и её преобразование Фурье.

Предположим, что ${\displaystyle f(t)}$ — квадратично-интегрируемая функция. Тогда норма или энергия сигнала выражается как^[4]:

${\displaystyle E=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f^{2}(t)dt}$.

Среднее значение для распределения энергии сигнала по времени имеет вид^[4]:

${\displaystyle t_{0}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }tf^{2}(t)dt}$.

В качестве меры длительности сигнала можно использовать удвоенную величину среднеквадратичной длительности ${\displaystyle \Delta t=2{\sqrt {D_{t}}}}$, называемую эффективной длительностью сигнала, где

${\displaystyle D_{t}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }(t-t_{0})^{2}f^{2}(t)dt}$.

В терминах теории вероятности ${\displaystyle D_{t}}$ — это центральный второй момент функции ${\displaystyle f(t)}$.

Среднее значение для распределения энергии сигнала в частотной области имеет вид:

${\displaystyle F_{0}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f|F(f)|^{2}df=0}$,

так как подынтегральная функция нечётна.

В качестве меры локализации сигнала в частотной области можно использовать величину ${\displaystyle \Delta f=2{\sqrt {D_{f}}}}$, называемую эффективной шириной полосы частот сигнала, где

${\displaystyle D_{f}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }(f-F_{0})^{2}|F(f)|^{2}df=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f^{2}|F(f)|^{2}df}$.

В терминах теории вероятности ${\displaystyle D_{f}}$ — это центральный второй момент функции ${\displaystyle |F(f)|}$^[4].

Принцип неопределённости гласит, что для дифференцируемых вещественных сигналов ${\displaystyle x(t)}$ с энергией ${\displaystyle E}$, для которых интеграл ${\displaystyle t_{0}}$ сходится (то есть ${\displaystyle t_{0}<\infty }$) и ${\displaystyle \lim _{t\to \pm \infty }tf^{2}(t)=0}$, произведение эффективной длительности сигнала ${\displaystyle \Delta t}$ и эффективной ширины полосы частот сигнала ${\displaystyle \Delta f}$ ограничено снизу^[4]:

${\displaystyle \Delta t\Delta f\geq {\frac {E}{\pi }}}$,

Равенство ${\displaystyle \Delta t\Delta f={\frac {E}{\pi }}}$ достигается только в случае гауссова импульса ${\displaystyle f(t)=Ce^{-kt^{2}}}$, где ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle C}$ некоторые константы (${\displaystyle k>0}$)^[4].

В квантовой механике импульс и положение волновой функции являются парами преобразований Фурье с точностью до постоянной Планка. При правильном учёте этой постоянной, неравенство выше становится утверждением принципа неопределённости Гейзенберга.

Более сильным принципом неопределённости является принцип неопределённости Хиршмана, который выражается как:

${\displaystyle H\left(\left|x\right|^{2}\right)+H\left(\left|F\right|^{2}\right)\geq \ln \left({\frac {e}{2}}\right)}$

где ${\displaystyle H(p)}$ — дифференциальная энтропия функции плотности вероятности ${\displaystyle p(z)}$:

${\displaystyle H(p)=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }p(z)\ln {\bigl (}p(z){\bigr )}dz}$,

Равенство достигается для функции Гаусса, как и в предыдущем случае.

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства в частотное пространство. Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

• Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля).
• Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
• Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические.
• По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов.
• Дискретная версия преобразования Фурье может быть быстро рассчитана на компьютерах с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, определяется формулой^[5]:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-ix\cdot \omega }\,dx}$

Здесь ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle x}$ — векторы пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle x\cdot \omega }$ — их скалярное произведение.

Обратное преобразование Фурье в этом случае задаётся формулой

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\omega )e^{ix\cdot \omega }\,d\omega }$.

Эти формулы также можно записать в виде^[6]:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\!\ldots \!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},\ldots ,x_{n})e^{-i(x_{1}\omega _{1}+\ldots +x_{n}\omega _{n})}dx_{1}\ldots dx_{n},}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,dx_{n})={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\!\ldots \!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})e^{i(x_{1}\omega _{1}+\ldots +x_{n}\omega _{n})}d\omega _{1}\ldots d\omega _{n}.}$

Как и в одномерном случае, множитель ${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}}$ в преобразовании Фурье может отсутствовать. Тогда множитель в обратном преобразовании Фурье будет равен ${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}}$^[6].

Формула для преобразования Фурье в многомерном случае может быть интерпретирована как разложение функции ${\displaystyle f}$ в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида ${\displaystyle e^{ix\cdot \omega }}$ с амплитудами ${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}|{\hat {f}}(\omega )|}$, частотами ${\displaystyle \omega }$ и фазовыми сдвигами ${\displaystyle \arg {\hat {f}}(\omega )}$ соответственно.

Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:

• Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:

${\displaystyle {\widehat {\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}}=i\omega _{k}{\hat {f}}(\omega ).}$

• Изменяется константа в теореме о свёртке:

${\displaystyle {\widehat {(f\ast g)}}=(2\pi )^{n/2}{\hat {f}}{\hat {g}}.}$

• Преобразование Фурье и сжатие координат:

${\displaystyle {\widehat {\left(f\left({\frac {x}{|a|}}\right)\right)}}=|a|^{n}{\hat {f}}(\omega |a|).}$

• Более общо, если ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ — обратимое линейное отображение, то

${\displaystyle {\widehat {\left(f(Ax)\right)}}=|\det(A)|^{-1}{\hat {f}}((A^{T})^{-1}\omega ).}$

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для ${\displaystyle 2\pi }$-периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{n}\,e^{inx}.}$

Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.

Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой ${\displaystyle 2\pi }$-периодической функции имеем

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\sqrt {2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{n}\delta (\omega -n).}$

Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках и равно нулю вне их.

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1}}$ — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен ${\displaystyle f(t)=x_{0}+x_{1}t+x_{2}t^{2}+\ldots +x_{n-1}t^{n-1}}$. Выберем какие-нибудь ${\displaystyle n}$ точек на комплексной плоскости ${\displaystyle z_{0},\;z_{1},\;\ldots ,\;z_{n-1}}$. Теперь многочлену ${\displaystyle f(t)}$ мы можем сопоставить новый набор из ${\displaystyle n}$ чисел: ${\displaystyle f_{0}:=f(z_{0}),\;f_{1}:=f(z_{1}),\;\ldots ,\;f_{n-1}:=f(z_{n-1})}$. Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел ${\displaystyle f_{0},\;f_{1},\;\ldots ,\;f_{n-1}}$ существует единственный многочлен ${\displaystyle f(t)}$ степени не выше ${\displaystyle n-1}$ с такими значениями в ${\displaystyle z_{0},\;\ldots ,\;z_{n-1}}$ соответственно (см. Интерполяция).

Набор ${\displaystyle \{f_{k}\}}$ и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора ${\displaystyle \{x_{k}\}}$. В качестве точек ${\displaystyle z_{k}}$ обычно выбирают корни ${\displaystyle n}$-й степени из единицы:

${\displaystyle z_{k}=e^{\frac {2\pi ik}{n}}}$.

Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины ${\displaystyle n}$ напрямую требует порядка ${\displaystyle n^{2}}$ операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за ${\displaystyle O(n\log n)}$ операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка ${\displaystyle n}$ операций.

${\displaystyle F(t,\;\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )W(\tau -t)e^{-i\omega \tau }\,d\tau ,}$

где ${\displaystyle F(t,\;\omega )}$ даёт распределение частот (вообще говоря, несколько искажённое) части оригинального сигнала ${\displaystyle f(t)}$ в окрестности момента времени ${\displaystyle t}$.

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всём диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье — так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию ${\displaystyle W}$, причём эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

На практике дискретный спектральный анализ реализован в современных цифровых осциллографах и анализаторах спектра. Используется, как правило, выбор окна из 3—10 типов. Применение окон принципиально необходимо, поскольку в реальных приборах исследуется всегда некоторая вырезка из исследуемого сигнала. При этом разрывы сигнала вследствие вырезки резко искажают спектр из-за наложения спектров скачков на спектр сигнала.

Некоторые анализаторы спектра используют быстрое (или кратковременное) оконное преобразование. При нём сигнал заданной длительности разбивается на ряд интервалов с помощью скользящего окна того или иного типа. Это позволяет получать, исследовать и строить в виде спектрограмм динамические спектры и анализировать их поведение во времени. Спектрограмма строится в трёх координатах — частота, время и амплитуда. При этом амплитуда задаётся цветом или оттенком цвета каждого прямоугольника спектрограммы. Подобные анализаторы спектра называют анализаторами спектра реального времени. Основным их производителем является корпорация Keysight Technologies (США), Rohde & Schwarz (Германия), Tektronix (США). Такие анализаторы появились в конце прошлого века и ныне бурно развиваются. Частотный диапазон исследуемых ими сигналов достигает сотен гигагерц.

Указанные методы спектрального анализа реализуются и в системах компьютерной математики, например, Mathcad, Mathematica, Maple и MATLAB.

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором ${\displaystyle x_{k}}$ определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему о свёртке, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина.

В терминах обработки сигналов преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где ${\displaystyle \omega }$ — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция ${\displaystyle f}$ является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции ${\displaystyle F(\omega )}$ пропорциональна амплитудам соответствующих частот ${\displaystyle \omega }$, в то время как фазовые сдвиги являются аргументами этой комплексной функции.

Однако преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Следующая таблица содержит список формул для преобразования Фурье. ${\displaystyle F(\omega )}$ и ${\displaystyle G(\omega )}$ обозначают Фурье компоненты функций ${\displaystyle f(t)}$ и ${\displaystyle g(t)}$, соответственно. ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

	Функция	Образ с множителем ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$	Образ с множителем ${\displaystyle 1}$	Примечания
	${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\omega }dx}$	${\displaystyle F(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\omega }dx}$
1	${\displaystyle af(t)+bg(t)}$	${\displaystyle aF(\omega )+bG(\omega )}$	${\displaystyle aF(\omega )+bG(\omega )}$	Линейность
2	${\displaystyle f(t-a)}$	${\displaystyle e^{-i\omega a}F(\omega )}$	${\displaystyle e^{-i\omega a}F(\omega )}$	Запаздывание
3	${\displaystyle e^{iat}f(t)}$	${\displaystyle F(\omega -a)}$	${\displaystyle F(\omega -a)}$	Частотный сдвиг
4	${\displaystyle f(at)}$	${\displaystyle |a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$	${\displaystyle |a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$	Если ${\displaystyle a}$ большое, то ${\displaystyle f(at)}$ сосредоточена около нуля, и ${\displaystyle |a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$ становится плоским
5	${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}}$	${\displaystyle (i\omega )^{n}F(\omega )}$	${\displaystyle (i\omega )^{n}F(\omega )}$	Свойство преобразования Фурье от ${\displaystyle n}$-й производной
6	${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau }$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}F(0)\delta (\omega )+{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}i\omega }}F(\omega )}$	${\displaystyle \pi F(0)\delta (\omega )+{\frac {1}{i\omega }}F(\omega )}$	Свойство преобразования Фурье от интеграла
7	${\displaystyle t^{n}f(t)}$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n}}}}$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n}}}}$	Это обращение правила 5
8	${\displaystyle f(t)*g(t)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )}$	${\displaystyle F(\omega )G(\omega )}$	Запись ${\displaystyle f*g}$ означает свёртку ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle f(t)*g(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau }$. Это правило — теорема о свёртке
9	${\displaystyle f(t)g(t)}$	${\displaystyle {\frac {F(\omega )*G(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle {\frac {F(\omega )*G(\omega )}{2\pi }}}$	Это обращение 8
10	${\displaystyle \delta (t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \delta (t)}$ означает дельта-функцию Дирака
11	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )}$	${\displaystyle 2\pi \delta (\omega )}$	Обращение 10.
12	${\displaystyle t^{n}}$	${\displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )}$	${\displaystyle i^{n}2\pi \delta ^{(n)}(\omega )}$	Здесь ${\displaystyle n}$ — натуральное число, ${\displaystyle \delta ^{(n)}(\omega )}$ — ${\displaystyle n}$-я производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 7 и 11. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
13	${\displaystyle e^{iat}}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)}$	${\displaystyle 2\pi \delta (\omega -a)}$	Следствие 3 и 11
14	${\displaystyle \cos(at)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}}$	${\displaystyle \pi (\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a))}$	Следствие 1 и 13 с использованием формулы Эйлера ${\displaystyle \cos(at)={\frac {1}{2}}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)}$
15	${\displaystyle \sin(at)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}}$	${\displaystyle -i\pi (\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a))}$	Также из 1 и 13
16	${\displaystyle \exp(-at^{2})}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)}$	Показывает, что функция Гаусса ${\displaystyle \exp(-t^{2}/2)}$ совпадает со своим изображением
17	${\displaystyle W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)}$	${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)}$	Прямоугольная функция — передаточная характеристика идеального фильтра нижних частот, а функция sinc(x) — его импульсная характеристика
18	${\displaystyle {\frac {1}{t}}}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )}$	${\displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\omega )}$	Здесь ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )}$ — функция sgn. Это правило согласуется с 7 и 11
19	${\displaystyle {\frac {1}{t^{n}}}}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )}$	${\displaystyle -i\pi {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )}$	Обобщение 18
20	${\displaystyle \operatorname {sgn}(t)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {1}{i\omega }}}$	${\displaystyle {\frac {2}{i\omega }}}$	Обращение 17
21	${\displaystyle \theta (t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}({\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega ))}$	${\displaystyle {\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )}$	Здесь ${\displaystyle \theta (t)}$ — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 20

• Ортогональные функции
• Дискретное преобразование Фурье над конечным полем
• Вейвлет
• Чирплет
• Преобразование Гильберта — Хуанга
• Гильбертово пространство

• Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
• Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.
• Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. — М.: СОЛОН-Пресс, 2005. — С. 576. — ISBN 5-980-03206-1.
• Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е изд. — СПб.: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9.
• М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов. Спектральные преобразования в MatLab. — СПб., 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-983-40121-1.
• Havin V., Jöricke B. The uncertainty principle in harmonic analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 1994. — С. xii+543. — ISBN 978-3-642-78377-7.

• Интегральные преобразования. Архивная копия от 11 июля 2007 на Wayback Machine EqWorld: Мир математических уравнений
• Online Computation of the transform or inverse transform
• Преобразование Фурье. Архивная копия от 4 июля 2015 на Wayback Machine — перевод статьи An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained. Архивная копия от 4 июля 2015 на Wayback Machine (англ.)
• Рональд Н. Брейсуэлл. Преобразование Фурье. Scientific American. В мире науки. № 8, 1989. — C. 48—56. Архивная копия от 24 мая 2017 на Wayback Machine