Гипотеза Каратеодори — гипотеза, приписываемая Константину Каратеодори, которую Ганс Людвиг Гамбургер высказал на сессии Берлинского Математического Общества 1924[1]. Каратеодори публиковал статьи на это тему[2], но никогда не приводил гипотезу в своих сочинениях. Джон Идензор Литлвуд в своей книге[3] упоминает гипотезу и вклад Гамбургера[4][5][6] как пример математического утверждения, которое легко сформулировать, но трудно доказать. Дирк Ян Стройк описывает в своей статье[7] формальную аналогию гипотезы с теоремой о четырёх вершинах для плоских кривых. Современные ссылки на гипотезу — список проблем Яу Шинтуна[8], книги Марселя Берже[9][10], а также книги Николаева[11], Стройка[12], Топоногова[13] и Алексеевского, Виноградова, Лычагина[14].
Пока книга готовилась к печати Кон-Фоссен смог доказать, что замкнутые вещественно-аналитические поверхности не имеют омбилических точек с индексом > 2 (приглашённый доклад на ICM в Болонье 1928). Это доказывает гипотезу Каратеодори для таких поверхностей, а именно, что поверхности дожны иметь по меньшей мере две омбилики.
Здесь индекс Бляшке равен удвоенному обычному индексу омбилической точкой и глобальная гипотеза следует из теоремы Пуанкаре о векторном поле. Никаких статей не было издано Кон-Фоссеном до Международного Конгресса, а в дальнейших переизданиях книги Бляшке вышеупомянутые комментарии были удалены. Отсюда логично сделать вывод, что работа была неубедительной.
Для аналитических поверхностей утвердительный ответ для гипотезы дал в 1940 Ганс Людвиг Гамбургер в длинной статье, опубликованной в трёх частях[4][5][6]. Подход Гамбургера основывался также на оценке индексов изолированных омбилических точек, из которой, как он показал в более ранних работах[17][18], вытекает гипотеза Каратедори. В 1943 Джеррит Бол предложил более короткое доказательство[19] (см. также Бляшке[20]), но в 1959 Тилла Клотц[21] нашла и исправила пробел в доказательстве Бола[4][5][6]. Её доказательство, в свою очередь, было объявлено неполным в диссертации Ганспетера Шербела[22] (никаких результатов, связанных с гипотезой Каратеодори, Шербел не опубликовал, по меньшей мере до июня 2009). Среди других публикаций следует упомянуть работы Титуса[23], Сотомайора и Мелло[24], Гутьереса[25].
Все упомянутые выше доказательства основываются на сведении Гамбургера гипотезы Каратеодори к следующей гипотезе: индекс любой изолированной омбилической точки не превосходит единицы[17]. Грубо говоря, основная трудность заключается в разрешении сингулярности, генерируемой точками округления. Все упомянутые выше авторы разрешают сингулярность индукцией по «степени вырождения» точки округления, но ни один из авторов не описал процесс индукции ясно.
В 2002 Владимир В. Иванов просмотрел работу Гамбургера по аналитическим поверхностям и написал следующее[26][27]:
Во-первых, имея в виду аналитические поверхности, мы со всей ответственностью заявляем, что Каратеодори был прав. Во-вторых, мы знаем, как это может быть строго доказано. В-третьих, мы намерены изложить здесь доказательство, которое, на наш взгляд, убедит любого читателя, если только он действительно готов преодолеть вместе с нами долгий и совсем не легкий путь.
В 2012 Гоми и Ховард показали, используя преобразование Мёбиуса, что глобальная гипотеза для поверхностей с гладкостью C2 может быть переформулирована в терминах числа омбилических точек графиков некоторых асимптотик градиентов[31].
↑Ovsienko, V.; Tabachnikov, S. Projective differential geometry old and new: from the Schwarzian derivative to the cohomology of diffeomorphism groups. — Cambridge University Press, 2005. — P. 156. — ISBN 9780511265785.
Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft 210. Sitzung am 26. März 1924. — Göttingen: Dieterichsche Universitätsbuchdruckerei, 1924.
Einfache Bemerkungen über Nabelpunktskurven // Festschrift 25 Jahre Technische Hochschule Breslau zur Feier ihres 25jährigen Bestehens, 1910—1935. — Breslau: W. G. Korn, 1935. — С. 105 – 107.
Constantin Carathéodory. Gesammelte Mathematische Schriften. — München: C. H. Beck, 1957. — Т. 5. — С. 26–30.
Blaschke W. Differentialgeometrie der Kreise und Kugeln, Vorlesungen über Differentialgeometrie. — Berlin: Springer-Verlag, 1929. — Т. 3. — С. XXIX. — (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften).
Littlewood J.E. A mathematician's miscellany. — Nabu Press, 2011. — ISBN 978-1179121512.
Berger M. Geometry Revealed: A Jacob's Ladder to Modern Higher Geometry. — Springer, 2010. — ISBN 3-540-70996-7.
Nikolaev I.Foliations on Surfaces // Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. — Springer, 2001. — Т. 3. — (Folge A Series of Modern Surveys in Mathematics). — ISBN 3-540-67524-8.
Struik D. J. Lectures on Classical Differential Geometry. — Dover, 1978. — ISBN 0-486-65609-8.
Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — 2012. — ISBN 9785891552135.
R.V. Gamkrelidze (Ed.). Geometry I: Basic Ideas and Concepts of Differential Geometry. — Springer, 1991. — (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). — ISBN 0-387-51999-8.
Алексеевский Д.В., Виноградов А.М., Лычагин В.В.Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии / составитель Гамкрелидзе Р.В.. — М., 1988. — Т. 28. — С. 5-289. — ((Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР) «Современные проблемы математики, Фундаментальные направления»).
Hamburger H.Ein Satz über Kurvennetze auf geschlossenen Flächen // Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. — 1922. — Т. 21. — С. 258 – 262.
Hamburge H. Über Kurvennetze mit isolierten Singularitäten auf geschossenen Flächen // Math. Z.. — 1924. — Т. 19. — С. 50 – 66.
Blaschke W.Sugli ombelichi d'un ovaloide // Atti Convegno Mat. Roma 1942. — 1945. — С. 201–208.
Tilla Klotz. On G. Bol's proof of Carathéodory's conjecture // Commun. Pure Appl. Math.. — 1959. — Т. 12. — С. 277—311.
Scherbel H. A new proof of Hamburger's index theorem on umbilical points. — ETH Zürich, 1993. — (Dissertation no. 10281).
Titus C. J. A proof of a conjecture of Loewner and of the conjecture of Carathéodory on umbilic points // Acta Math.. — 1973. — Т. 131, вып. 1—2. — С. 43—77.
Sotomayor J., Mello L. F. A note on some developments on Carathéodory conjecture on umbilic points // Exposition Math.. — 1999. — Т. 17, вып. 1. — С. 49—58. — ISSN0723-0869.
Gutierrez C., Sotomayor J. Lines of curvature, umbilic points and Carathéodory conjecture. — 1998. — Т. 3. — С. 291—322.
Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.
