Гладкое многообразие

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Пусть ${\displaystyle X}$ — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки ${\displaystyle x\in X}$ найдется её окрестность ${\displaystyle U}$, гомеоморфная открытому подмножеству пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, то ${\displaystyle X}$ называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности ${\displaystyle n}$.

Пара ${\displaystyle (U,\phi )}$, где ${\displaystyle \phi }$ — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой ${\displaystyle X}$ в точке ${\displaystyle x}$. Таким образом, каждой точке соответствует набор ${\displaystyle n}$ вещественных чисел ${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$, которые называются координатами в карте ${\displaystyle (U,\phi )}$. Множество карт ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}$ называется ${\displaystyle C^{k}}$-атласом ${\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}$ многообразия ${\displaystyle X}$, если:

• совокупность всех ${\displaystyle U_{\alpha }}$ покрывает ${\displaystyle X}$, т.е. ${\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}$
• для любых ${\displaystyle \alpha ,\beta \in A}$ таких, что ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }$, отображение:

${\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$

является гладким отображением класса ${\displaystyle C^{k}}$;

${\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}$ является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты ${\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}$ с картой ${\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}$

Два ${\displaystyle C^{k}}$-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует ${\displaystyle C^{k}}$-атлас. Совокупность ${\displaystyle C^{k}}$-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые ${\displaystyle C^{k}}$-структурами, при ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }$ — дифференциальными (или гладкими) структурами.

Топологическое многообразие ${\displaystyle X}$, наделенное ${\displaystyle C^{k}}$-структурой, называется ${\displaystyle C^{k}}$-гладким многообразием.

• Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую ${\displaystyle C^{a}}$-структурой.

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ более общих пространств ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ или даже ${\displaystyle K^{n}}$, где ${\displaystyle K}$ — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) ${\displaystyle C^{k}}$-структуры (${\displaystyle k\geqslant 1}$) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней ${\displaystyle C^{\infty }}$-структура, и на ${\displaystyle C^{\infty }}$-многообразии,${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }$, — ${\displaystyle C^{r}}$-структура, если ${\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}$. Наоборот, любое паракомпактное ${\displaystyle C^{r}}$-многообразие, ${\displaystyle r\geqslant 1}$, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что ${\displaystyle C^{0}}$-многообразие нельзя наделить ${\displaystyle C^{1}}$-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число ${\displaystyle \theta (n)}$ ${\displaystyle C^{1}}$-неизоморфных ${\displaystyle C^{\infty }}$-структур на ${\displaystyle n}$-мерной сфере равно:

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
${\displaystyle \theta (n)}$	1	1	1		1	1	28	2	8	6	992	1

Пусть ${\displaystyle f:X\to Y}$ — непрерывное отображение ${\displaystyle C^{r}}$-многообразий ${\displaystyle X,Y}$; оно называется ${\displaystyle C^{k}}$-морфизмом (или ${\displaystyle C^{k}}$-отображением, ${\displaystyle k\leqslant r}$, или отображением класса ${\displaystyle C^{k}}$) гладких многообразий, если для любой пары карт ${\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}$ на X и ${\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}$ на Y такой, что ${\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}$ и отображение:

${\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}$

принадлежит классу ${\displaystyle C^{k}}$. Биективное отображение ${\displaystyle f}$, если оно и ${\displaystyle f^{-1}}$ являются ${\displaystyle C^{k}}$-отображениями, называется ${\displaystyle C^{k}}$-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ и их ${\displaystyle C^{r}}$-структуры называются ${\displaystyle C^{k}}$-изоморфными.

Подмножество ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n}$-мерного ${\displaystyle C^{k}}$-многообразия ${\displaystyle X}$ называется ${\displaystyle C^{k}}$-подмногообразием размерности ${\displaystyle m}$ в ${\displaystyle X}$, если для произвольной точки ${\displaystyle y\in Y}$ существует карта ${\displaystyle (U,\phi )}$ ${\displaystyle C^{k}}$-структуры ${\displaystyle X}$, такая, что ${\displaystyle y\in U}$ и ${\displaystyle \phi }$ индуцирует гомеоморфизм ${\displaystyle U\cap Y}$ с (замкнутым) подпространством ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}$; иными словами, существует карта с координатами ${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$, такая, что ${\displaystyle U\cap Y}$ определяется соотношениями ${\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}$.

Отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$ называется ${\displaystyle C^{k}}$-вложением, если ${\displaystyle f(X)}$ является ${\displaystyle C^{k}}$-подмногообразием в ${\displaystyle Y}$, а ${\displaystyle X\to f(X)}$ — ${\displaystyle C^{k}}$-диффеоморфизм.

Любое ${\displaystyle n}$-мерное ${\displaystyle C^{k}}$-многообразие допускает вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$, а также в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}$ Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений ${\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}$ относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

• Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
• де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
• Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
• Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
• Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
• Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
• Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
• Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.

У этой статьи по математике есть несколько проблем, помогите их исправить: В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (21 января 2014) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.