Открытое множество

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность шара (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и в этом случае никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры)^[1][2]. Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.

Пусть ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда ${\displaystyle U}$ называется открытым, если ${\displaystyle \forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0,}$ такое что ${\displaystyle V_{\varepsilon }(x_{0})\subset U}$, где ${\displaystyle V_{\varepsilon }(x_{0})\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \right\}}$ — ε-окрестность точки ${\displaystyle x_{0}.}$

Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, интервал ${\displaystyle (a,b)}$ как подмножество действительной прямой является открытым множеством. В то же время отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ или полуинтервал ${\displaystyle [a,b)}$ не являются открытыми, так как точка ${\displaystyle a}$ принадлежит множеству, но ни одна её окрестность в этом множестве не содержится.

Пусть ${\displaystyle (X,\rho )}$ — некоторое метрическое пространство, и ${\displaystyle U\subset X}$. Тогда ${\displaystyle U}$ называется открытым, если ${\displaystyle \forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0,}$ такое что ${\displaystyle V_{\varepsilon }(x_{0})\subset U}$, где ${\displaystyle V_{\varepsilon }(x_{0})\equiv \{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<\varepsilon \}}$ — ε-окрестность точки ${\displaystyle x_{0}}$ относительно метрики ${\displaystyle \rho }$. Другими словами, множество ${\displaystyle U}$ в метрическом пространстве ${\displaystyle (X,\rho )}$ называется открытым множеством, если каждая точка ${\displaystyle x_{0}}$ множества ${\displaystyle U}$ входит в это множество вместе с некоторым открытым шаром с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$^[3].

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — «топологию», определённую на ${\displaystyle X}$. Подмножество ${\displaystyle U\subset X}$, такое, что оно является элементом топологии (то есть ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$), называется открытым множеством относительно топологии ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

Важный подкласс открытых множеств образуют канонически открытые множества, каждое из которых является внутренностью (открытым ядром) какого-либо замкнутого множества (и, следовательно, совпадает с внутренностью своего замыкания). Всякое открытое множество ${\displaystyle G}$  содержится в наименьшем канонически открытом множестве — им будет внутренность замыкания множества ${\displaystyle G}$ ^[4].

Открытые множества были введены Рене-Луи Бэром в 1899 году.^[5]

• Замкнутое множество
• Граница подмножества