Квазициклическая группа

Квазициклическая p-группа, для фиксированного простого числа p — это единственная p-группа, в которой из любого элемента можно извлечь ровно p корней p-й степени. Обычно обозначается как Z(p^∞)

Квазициклическую p-группу также её называют p-группой Прюфера, в честь немецкого математика Хайнца Прюфера.

Квазициклическая p-группа может быть представлена как подгруппа U(1), состоящая из комплексных корней из единицы степени pⁿ, где n пробегает все натуральные числа:

${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })=\{\exp(2\pi im/p^{n})\mid m\in \mathbb {N} ,\,n\in \mathbb {N} \}.\;}$

Эквивалентным образом, квазициклическую p-группу можно рассматривать как подгруппу Q/Z, состоящую из элементов, порядок которых является степенью p:

${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })=\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} .}$

Также p-группа Прюфера может быть задана образующими и соотношениями:

${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })=\langle \,g_{1},g_{2},g_{3},\ldots \mid g_{1}^{p}=1,g_{2}^{p}=g_{1},g_{3}^{p}=g_{2},\dots \,\rangle .}$

Квазициклическая p-группа — это единственная бесконечная p-группа, являющаяся локально циклической^[англ.] (то есть такой, что любое конечное подмножество её элементов порождает циклическую группу). Нетрудно видеть, что все собственные подгруппы квазициклической группы являются циклическими.

Квазициклическая группа является делимой.

В теории локально компактных топологических групп квазициклическая p-группа, снабжённая дискретной топологией, является двойственной по Понтрягину к компактной группе целых p-адических чисел.

Квазициклические p-группы, для всевозможных простых p — это единственные бесконечные группы, такие что множество их подгрупп линейно упорядочено по вложению:

${\displaystyle 0\subset \mathbf {Z} /p\subset \mathbf {Z} /p^{2}\subset \mathbf {Z} /p^{3}\subset \cdots \subset \mathbf {Z} (p^{\infty }).}$

На этой цепочке включений p-группа Прюфера представлена как прямой предел своих конечных подгрупп.

Как ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модуль, p-группа Прюфера является артиновой, но не является нётеровой (аналогично, она является артиновой, но не нётеровой группой). В таком качестве она является контрпримером к возможному утверждению о том, что любой артинов модуль нётеров.

• quasicyclic group (англ.) на сайте PlanetMath.
• Н. Н. Вильямс. Quasi-cyclic group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Jacobson, Nathan. Basic Algebra. — Dover, 2009. — ISBN 978-0-486-47187-7.
• Pierre Antoine Grillet. Abstract Algebra. — Springer, 2007. — ISBN 978-0-387-71567-4.
• D. L. Armacost and W. L. Armacost. On p-thetic groups (англ.) // Pacific J. Math.. — 1972. — Vol. 41, no. 2. — P. 295–301.