Циклическая группа

Циклическая группа — группа ${\displaystyle (G,\cdot )}$, которая может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: ${\displaystyle G=\langle a\rangle }$.

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени ${\displaystyle g^{n}}$ будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+).}$

См. также: Конечные циклические группы

• Все циклические группы абелевы.
• Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ = ${\displaystyle \{0,1,\dots ,n-1\}}$ со сложением по модулю n (её также обозначают ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$), а каждая бесконечная — изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, группе целых чисел по сложению.
  • В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.
• Каждая подгруппа циклической группы циклична.
• У циклической группы порядка n существует ровно ${\displaystyle \varphi (n)}$ (функция Эйлера) порождающих элементов.
• Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).
• Прямое произведение двух циклических групп порядков ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$ циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.
  • Например, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{12}}$ изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{4}}$, но не изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{2}}$.
• Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{n}}}$, где p — простое число, или ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
• Кольцо эндоморфизмов группы ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ изоморфно кольцу ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$. При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$, который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, тогда и только тогда, когда r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{\times }}$.

• Группа корней из единицы степени n по умножению.
• Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F, группой Галуа которого будет G.

Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична.

Доказательство. Пусть ${\displaystyle G}$ — циклическая группа и ${\displaystyle H}$ — подгруппа группы ${\displaystyle G}$. Если группа ${\displaystyle G}$ тривиальна (состоит из одного элемента), то ${\displaystyle H=G}$ и ${\displaystyle H}$ циклична. Если ${\displaystyle H}$ — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то ${\displaystyle H}$ циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ не являются тривиальными.

Пусть ${\displaystyle g}$ — образующий элемент группы ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle n}$ — наименьшее положительное целое число, такое что ${\displaystyle g^{n}\in H}$. Утверждение: ${\displaystyle H=\langle g^{n}\rangle }$

${\displaystyle \langle g^{n}\rangle \subseteq H}$

${\displaystyle {\forall a\in \langle g^{n}\rangle }\ {\exists z\in \mathbb {Z} }\mid {a=(g^{n})^{z}}}$

${\displaystyle g^{n}\in H\Rightarrow (g^{n})^{z}\in H\Rightarrow a\in H}$

Следовательно, ${\displaystyle \langle g^{n}\rangle \subseteq H}$.

${\displaystyle H\subseteq \langle g^{n}\rangle }$

Пусть ${\displaystyle h\in H}$.

${\displaystyle h\in H\Rightarrow h\in G\Rightarrow \exists x\in {\mathbb {Z} }\mid h=g^{x}}$.

Согласно алгоритму деления с остатком ${\displaystyle \exists q,r\in {\mathbb {Z} }\mid 0\leq r\leq n-1\land x=qn+r}$

${\displaystyle h=g^{x}=g^{qn+r}=g^{qn}g^{r}=(g^{n})^{q}g^{r}\Rightarrow g^{r}=h(g^{n})^{-q}}$.

${\displaystyle h,g^{n}\in H\Rightarrow g^{r}\in H}$.

Исходя из того, каким образом мы выбрали ${\displaystyle n}$ и того, что ${\displaystyle 0\leq r\leq n-1}$, делаем вывод, что ${\displaystyle r=0}$.

${\displaystyle r=0\Rightarrow h=(g^{n})^{q}g^{0}=(g^{n})^{q}\in \langle g^{n}\rangle }$.

Следовательно, ${\displaystyle H\subseteq \langle g^{n}\rangle }$.

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001.
• Хамермеш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.