Клеточность

Кле́точность (число Су́слина) — топологическая характеристика топологического пространства ${\displaystyle X}$, определяющаяся максимальным количеством открытых попарно непересекающихся множеств из ${\displaystyle X}$. Является кардинальным инвариантом и обозначается ${\displaystyle c(X)}$.

Как и для многих общетопологических инвариантов, конечная клеточность не представляет интереса; считается, что она не менее, чем счётна (то есть ${\displaystyle \aleph _{0}}$).

Не является наследственным инвариантом, то есть подпространство ${\displaystyle U\subseteq X}$ может иметь клеточность большую, чем ${\displaystyle c(X)}$. Для примера достаточно точку ${\displaystyle 0}$ в отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ размножить несчётное число раз, тогда подпространство из размноженных нулей будет иметь бо́льшую клеточность, чем отрезок, то есть больше ${\displaystyle \aleph _{0}}$, то есть ${\displaystyle \aleph _{0}=c(X)<hc(X)={\mathfrak {c}}}$. Другой пример ненаследования клеточности — плоскость Немыцкого.

Клеточность пространства не превосходит его плотность (которая, в свою очередь, не превосходит веса): ${\displaystyle c(X)\leqslant d(X)\leqslant w(X)}$. Также клеточность не превосходит спреда (который также не превосходит веса): ${\displaystyle c(X)\leqslant hc(X)\leqslant w(X)}$.

Для линейно упорядоченных пространств их характер не превосходит клеточности: ${\displaystyle \chi (X)\leqslant c(X)}$. Кроме того, для линейно упорядоченных пространств клеточность совпадает со спредом и наследственным числом Линделёфа: ${\displaystyle c(X)=hc(X)=hl(X)}$.

Не превосходят клеточность топологического пространства ${\displaystyle X}$ его число Линделёфа и экстент (в свою очередь, не превосходящий число Линделёфа): ${\displaystyle e(X)\leqslant l(X)\leqslant c(X)}$.

Для вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$: ${\displaystyle c(\mathbb {R} )=\aleph _{0}}$. Для натуральных и целых чисел: ${\displaystyle c(\mathbb {Z} )=c(\mathbb {N} )=\aleph _{0}}$.

Для дискретного пространства мощности ${\displaystyle \tau }$: ${\displaystyle c(D_{\tau })=\tau }$.

Для ежа колючести ${\displaystyle \tau }$: ${\displaystyle c(J(\tau ))=\tau }$. (При ${\displaystyle \tau \geqslant \aleph _{0}}$ (достаточно взять по открытому множеству в каждой «иголке», не выходящему за «иголку»).

В целом для подпространства ${\displaystyle U}$ из евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$: ${\displaystyle c(U)\leqslant \aleph _{0}}$.

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 103,333. — 752 с.