Плоскость Немыцкого

Плоскость Немыцкого — общетопологический пример совершенного пространства, не являющегося нормальным^[1]. Обозначается, как правило, ${\displaystyle L}$.

Определена Александровым и Хопфом в 1935 году и используется в курсах по общей топологии как «универсальный контрпример»^[2]: дидактическая ценность её в том, что благодаря простоте построения плоскость Немыцкого может быть наглядно представлена студентам на первых же лекциях по общей топологии, и в дальнейшем использоваться как сквозной пример для всего курса.

Строится как подпространство плоскости с точками ${\displaystyle (x;y)}$, где ${\displaystyle y\geqslant 0}$ с изменением топологии в точках ${\displaystyle (x;0)}$: база окрестностей таких точек — открытые круги ${\displaystyle B((x,\epsilon ),\epsilon )}$ и сама точка ${\displaystyle (x;0)}$, где ${\displaystyle B(p,r)}$ — круг радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в точке ${\displaystyle p}$.

Отсутствие нормальности вытекает из такого же наглядного замечания, как и в случае с квадратом стрелки: ${\displaystyle L}$ — сепарабельное пространство с несчётным замкнутым дискретом (ось абсцисс имеет даже мощность континуума).

Плоскость Немыцкого является связным, сепарабельным (${\displaystyle d(L)=\omega }$) и нелинделёфовым (${\displaystyle l(L)=2^{\omega }}$), вещественно полным пространством^[3]. Его клеточность и характер счётны (${\displaystyle c(L)=\omega }$, ${\displaystyle \chi (L)=\omega }$), а вес — несчётен (${\displaystyle w(L)=2^{\omega }}$). При этом не является счётно паракомпактным^[4], слабо паракомпактным^[5], локально компактным пространством.

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 48,50,54,60,63,68,86,118,122,293. — 752 с.