Комплексная проективная плоскость

Комплексная проективная плоскость — двумерное комплексное проективное пространство^[англ.]; является двумерным комплексным многообразием, его вещественная размерность равна 4.

Обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}}$.

Точки на комплексной проективной плоскости и описывается однородными комплексными координатами

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})\in \mathbb {C} ^{3},\qquad (z_{1},z_{2},z_{3})\neq (0,0,0).}$

При этом тройки, отличающиеся на скаляр, считаются идентичными:

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})\equiv (\lambda z_{1},\lambda z_{2},\lambda z_{3});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.}$

• ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}}$ гомеоморфно фактору 5-мерной сферы ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}\subset \mathbb {C} ^{3}}$ по действию Хопфа ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$.

• Числа Бетти:

  1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

• ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}}$ односвязно, его фундаментальная группа тривиальна.
• Нетривиальными гомотопическими группами комплексной проективной плоскости являются

  ${\displaystyle \pi _{2}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\pi _{5}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {Z} }$.

в старших размерностях, гомотопические группы те же, что у 5-мерной сферы.

В бирациональной геометрии комплексная рациональная поверхность — это любая алгебраическая поверхность, бирационально эквивалентная комплексной проективной плоскости. Известно, что любое несингулярное рациональное многообразие получается из плоскости в результате последовательности преобразований раздутия и обратных им («стягиваний») кривых, которые должны быть очень специфичного вида. В качестве частного случая несингулярные комплексные поверхности второго порядка в P³ получаются из плоскости путём раздутия двух точек до кривых, а затем стягивание прямой через эти две точки. Обратные им преобразования можно видеть, если взять точку P на поверхности Q второго порядка, раздуть её, и спроектировать на обычную плоскость в P³ путём проведения прямых через P.

Группой бирациональных автоморфизмов комплексной проективной плоскости является группа Кремоны.

Комплексная проективная плоскость есть 4-мерное многообразиее. Оно обладает естественной метрикой, так называемой метрикой метрикой Фубини — Штуди с 1/4-защеплённой секционной кривизной; то есть её максимальная секционная кривизна равна 4 а минимальная равна 1. Эта метрика инициируется на факторе ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {S} ^{5}/\mathbb {S} ^{1}}$ по действию Хопфа ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}}$.

• Поверхность дель Пеццо^[англ.]
• Торическая геометрия^[англ.]*
• Фальшивая проективная плоскость

• П.С. Александров. Курс аналитической геометрии из линейной алгебры. — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1979. — С. 598.
• C. E. Springer. Geometry and Analysis of Projective Spaces. — W. H. Freeman and Company, 1964. — С. 140–3.
• М. Громов. Знак и геометрический смысл кривизны. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 1999. — ISBN 5-93972-020-X.
• Weisstein, Eric W. Complex Projective Plane (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить: Необходимо проверить качество перевода c неуказанного языка, исправить содержательные и стилистические ошибки. Вы можете помочь улучшить эту статью (см. также рекомендации по переводу). Оригинал не указан. Пожалуйста, укажите его. (29 декабря 2016) Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. (29 декабря 2016) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.