Комптоновская длина волны

Ко́мптоновская длина́ волны́ (λ_C) — параметр элементарной частицы: величина размерности длины, характерная для релятивистских квантовых процессов, идущих с участием этой частицы. Название параметра связано с именем А. Комптона и комптоновским эффектом.

Из опыта Комптона следует:

${\displaystyle \lambda _{C}={\frac {h}{mc}}}$;

Здесь: ${\displaystyle mc}$ — величина 4-вектора энергии-импульса покоящейся частицы.

Для электрона, λe
C ≈ 0,0242 Å ≈ 2,4263102367(11)⋅10⁻¹² м;^[1] для протона, λp
C ≈ 0,0000132 Å ≈ 1,32140985396(61)⋅10⁻¹⁵ м.^[1]

Длина волны ${\displaystyle \lambda _{C}}$ для покоящейся частицы массы ${\displaystyle m}$ определяет период вращения амплитуды вероятности^[2], квадрат которой является вероятностью того, что частица переместится из одной точки 4-пространства-времени в другую. Для покоящейся частицы это перемещение происходит только во времени, но не в пространстве. Следовательно можно написать цепочку равенств:

${\displaystyle \lambda _{C}=cT_{0}=c\cdot {\frac {2\pi }{\omega _{0}}}={\frac {h}{mc}}}$;

здесь: ${\displaystyle \omega _{0}={\frac {2\pi }{T_{0}}}}$ — частота вращения амплитуды вероятности.

Из последних двух равенств вытекает:

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}=\hbar {\omega _{0}},}$

где ${\displaystyle E_{0}}$ — энергия покоящейся частицы;

${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$;

В современной физике чаще употребляется приведённая комптоновская длина волны, которая меньше в 2π раз. Приведённая комптоновская длина волны обратна комптоновскому волновому числу:

${\displaystyle {\overline {\lambda }}_{C}={\frac {\lambda _{C}}{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}}.}$

Для электрона, λe
C ≈ 0,00386 Å ≈ 3,8615926764(18)⋅10⁻¹³ м^[1], для протона, λp
C ≈ 0,0000021 Å ≈ 2,10308910109(97)⋅10⁻¹⁶ м^[1].

В физике ядра и элементарных частиц также имеют важное значение (приведённые) комптоновские длины волн:

• пи-мезона: λπ
  C ≈ 1,46⋅10⁻¹⁵ м (характерное расстояние ядерных взаимодействий);
• W-бозона: λW
  C ≈ 2,45⋅10⁻¹⁸ м (характерное расстояние слабых взаимодействий).

Приведённая комптоновская длина волны часто возникает в уравнениях квантовой механики и квантовой теории поля. Так, в релятивистском уравнении Клейна — Гордона для свободной частицы

${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi .}$

Эта величина в квадрате выступает как множитель в правой части. В таком же качестве она появляется и в уравнении Дирака:

${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi .}$

Хотя в традиционное представление уравнения Шрёдингера комптоновская длина волны в явном виде не входит, его можно преобразовать так, чтобы она «проявилась». Так, нестационарное уравнение Шрёдингера для электрона в водородоподобном атоме с зарядовым числом ядра Z

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi }$

можно разделить на ${\displaystyle \hbar c}$ и переписать так, чтобы заменить элементарный заряд e на постоянную тонкой структуры α:

${\displaystyle {\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{m_{e}c}}\right)\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .}$

В результате комптоновская длина волны электрона возникает как множитель в первом члене правой части.

В квантовой теории поля часто применяется упрощающая формулы естественная система единиц, в которой скорость света и постоянная Планка равны 1. В такой системе единиц комптоновская длина частицы просто обратна её массе: λ_C = 1/m.

Название «комптоновская длина волны» связано с тем, что величина λe
C определяет изменение длины волны электромагнитного излучения в эффекте Комптона.

Частица, локализованная в области с линейными размерами не более λ_C, согласно соотношению неопределённостей имеет квантовомеханическую неопределённость в импульсе не менее mc и неопределённость в энергии не менее mc², что достаточно для рождения пар частиц-античастиц с массой m. В такой области элементарная частица, вообще говоря, уже не может рассматриваться как «точечный объект», потому что часть времени она проводит в состоянии «частица + пары». В результате на расстояниях, меньших λ_C, частица выступает как система с бесконечным числом степеней свободы и её взаимодействия должны описываться в рамках квантовой теории поля — в этом фундаментальная роль параметра λ_C, определяющего минимальную погрешность, с которой может быть измерена координата частицы в её системе покоя. В частности, переход в промежуточное состояние «частица + пары», осуществляющийся за время ~λ/с, характерное для рассеяния света с длиной волны λ, при λ ≤ λ_C приводит к нарушению законов классической электродинамики в комптон-эффекте.

В действительности во всех случаях размер области, где частица перестаёт быть «точечным объектом», зависит не только от её комптоновской длины, но и от комптоновских длин других частиц, в которые данная частица может динамически превращаться. Но, например, для лептонов, не обладающих сильным взаимодействием, переход в другие состояния маловероятен (можно сказать, что он происходит редко или требует большого времени). Поэтому лептонная «шуба» из пар является как бы прозрачной, и во многих задачах лептоны с хорошей точностью могут рассматриваться как «точечные частицы». Для тяжёлого адрона, например нуклона N, эффективный размер области, где начинает проявляться «шуба», значительно больше комптоновской длины нуклона и определяется комптоновской длиной самого лёгкого из адронов — пиона π (заметим, что λπ
C ≈ 7λN
C). В области с линейным размером порядка λπ
C нуклоны с большой интенсивностью (из-за сильного взаимодействия) переходят в промежуточные состояния «нуклон + пионы», поэтому нуклонная «шуба», в отличие от лептонной, плотная.

Таким образом, эффективная область, где частица перестаёт проявляться как «точечная», определяется не только соответствующей комптоновской длиной волны, но и константами взаимодействия этой частицы с другими частицами (полями).

• Волны де Бройля
• Потенциал Юкавы
• Уравнение Клейна — Гордона
• Уравнение Дирака
• Эффект Комптона

У этой статьи по физике есть несколько проблем, помогите их исправить: Эту статью необходимо исправить в соответствии с правилами Википедии об оформлении статей. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью. (13 марта 2010) В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (13 марта 2010) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.