Константа Каэна

Константа Каэна — сумма знакочередующегося числового ряда, строящегося из членов ряда Сильвестра:

${\displaystyle C=\sum {\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots }$,

где ${\displaystyle s_{i}}$ — ${\displaystyle i}$-й элемент последовательности Сильвестра. Приблизительное значение — 0,64341054629.

Названа по имени впервые исследовавшего данный ряд французского математика Эжена Каэна (фр. Eugène Cahen)^[1].

Может быть получена как сумма знакопостоянного ряда, образованного слагаемыми, обратными чётным членам последовательности Сильвестра (последовательностью приближений жадного алгоритма для египетских дробей):

${\displaystyle C=\sum {\frac {1}{s_{2i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots }$.

Константа трансцендентна^[2], притом является одним из немногих трансцендентных чисел, для которых известна полная цепная дробь — для последовательности 1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, …^[3], определённой рекуррентным уравнением ${\displaystyle q_{n+2}=q_{n}^{2}q_{n+1}+q_{n}}$, цепная дробь, соответствующая константе Каэна, представляется следующим образом^[2]:

${\displaystyle [0,1,q_{0}^{2},q_{1}^{2},q_{2}^{2},\ldots ]}$.

• Eugène Cahen. Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues // Nouvelles Annales de Mathématiques. — 1891. — Т. 10. — С. 508–514.
• J. Les Davison, Jeffrey O. Shallit. Continued fractions for some alternating series // Monatshefte für Mathematik. — 1991. — Т. 111, вып. 2. — С. 119–126. — doi:10.1007/BF01332350.

• Weisstein, Eric W. Cahen's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• The Cahen constant to 4000 digits  (неопр.). Plouffe's Inverter. Université du Québec à Montréal. Дата обращения: 19 марта 2011. Архивировано 17 марта 2011 года.

Достоверность этой статьи поставлена под сомнение. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. Соответствующую дискуссию можно найти на странице обсуждения. (20 ноября 2014)