Кошмар Фубини

Кошмар Фубини — название кажущегося нарушения теоремы Фубини в не-абсолютно непрерывных слоениях с гладкими слоями. Состоит в том, что множество в расслоенном пространстве, пересекающее все слои по множеству меры ноль (или даже вообще по отдельным точкам), может, тем не менее, иметь положительную (и даже полную) меру в объемлющем пространстве. Такой эффект, на самом деле, теореме Фубини не противоречит, поскольку выпрямляющее отображение слоения не является абсолютно непрерывным.

Существование «кошмара Фубини» затрудняет проведение доказательств для частично-гиперболических динамических систем «послойно» по слоям центрального слоения: это слоение обычно лишь гёльдерово, но не абсолютно непрерывно.

Иллюстративная версия кошмара Фубини была предложена Анатолием Борисовичем Катком и опубликована Джоном Милнором^[1]. Динамическая реализация такого примера была построена для случая центрального слоения в работе Эмили Вилкинсон и Майкла Шуба^[2].

Для любого ${\displaystyle p,\ 0<p<1,}$ можно рассмотреть кодирование точек отрезка ${\displaystyle [0,1]}$ последовательностями нулей и единиц, с делением очередного отрезка в отношении ${\displaystyle (1-p):p}$. (Как и при обычном кодировании, при этом будет иметь место отождествление ${\displaystyle 0}$ с хвостом из единиц и ${\displaystyle 1}$ с хвостом из нулей.)

Точка, кодирующаяся данной последовательностью ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...)\in \{0,1\}^{\mathbb {N} },}$, может быть несложно задана явно: отрезок, полученный после первых ${\displaystyle n}$ делений, имеет длину ${\displaystyle l_{n}=p^{\#\{j\leq n:a_{j}=1\}}(1-p)^{\#\{j\leq n:a_{j}=0\}},}$ поэтому соответствующая точка равна

${\displaystyle F_{p}(a_{1},a_{2},\dots )=\sum _{n:a_{n}=1}a_{n}(1-p)l_{n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}p^{\#\{j\leq n-1:\,a_{j}=1\}}(1-p)^{1+\,\#\{j\leq n-1:\,a_{j}=0\}}.}$

Для фиксированной последовательности ${\displaystyle a\in \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ отображение ${\displaystyle p\mapsto F_{p}(a)}$ аналитично. Последнее следует из теоремы Вейерштрасса так как ряд задающий ${\displaystyle p\mapsto F_{p}(a)}$ сходится равномерно на компактах внутри пересечения кругов ${\displaystyle \{|p|<1\}\cap \{|1-p|<1\}\subset \mathbb {C} }$.

Поэтому разбиение квадрата ${\displaystyle (0,1)\times [0,1]}$ на графики по переменной ${\displaystyle p}$ отображений ${\displaystyle F_{p}(a)}$ — кривые ${\displaystyle \gamma _{a}=\{(p,F_{p}(a))\mid p\in (0,1)\}}$, с параметром ${\displaystyle a}$, пробегающим ${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$, — слоение на аналитические кривые.

При любом фиксированном ${\displaystyle p}$, цифры ${\displaystyle a_{1}=\xi _{1}(x;p),a_{2}=\xi _{2}(x;p),...}$ кодирования случайной (выбираемой в соответствии с мерой Лебега) точки ${\displaystyle x\in [0,1]}$ — независимые бернуллевские случайные величины, принимающие значение ${\displaystyle 1}$ с вероятностью ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle 0}$ с вероятностью ${\displaystyle 1-p}$.

В силу закона больших чисел, при любом ${\displaystyle p}$ для почти всех ${\displaystyle x}$ выполнено

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}(x;p)\to p,\quad n\to \infty .}$

Из теоремы Фубини тогда вытекает, что множество

${\displaystyle M:=\left\{(p,x)\mid {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}(x;p){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}p.\right\}}$

имеет полную меру Лебега в квадрате ${\displaystyle (0,1)\times [0,1]}$.

Однако для любой фиксированной последовательности ${\displaystyle (a_{i})}$ предел её чезаровских средних, если он существует, единственнен. Поэтому любая кривая ${\displaystyle \gamma _{a}}$ либо вообще не пересекает множество ${\displaystyle M}$ (если предела нет), либо пересекает в единственной точке ${\displaystyle (p,F_{p}(a)),}$ где

${\displaystyle p=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}.}$

Таким образом, для построенных слоения и множества ${\displaystyle M}$ имеет место «кошмар Фубини».

Вилкинсон и Шуб рассматривали диффеоморфизмы, являющиеся малыми возмущениями диффеоморфизма ${\displaystyle A\times id}$ трёхмерного тора ${\displaystyle T^{3}=T^{2}\times S^{1}}$, где ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right):T^{2}\to T^{2}}$ — диффеоморфизм Аносова. Это отображение, а, значит, и близкие к нему частично гиперболичны. Более того, центральные слои возмущённых отображений будут являться гладкими окружностями, близкими к исходным.

Возмущение Вилкинсон — Шуба, которое берётся в классе сохраняющих меру Лебега отображений, делало диффеоморфизм эргодичным, но при этом центральный показатель Ляпунова становился ненулевым. С точностью до обращения, его можно считать положительным. Тогда множество точек, центральный показатель Ляпунова для которых положителен, имеет в ${\displaystyle T^{3}}$ полную меру Лебега.

С другой стороны, центральные слои-окружности имеют ограниченную сверху длину, поэтому на каждой из них множество точек, в которых происходит растяжение в центральном направлении, обязано иметь меру ноль. Более тонкие рассуждения показывают, что это множество обязано состоять из конечного числа точек, то есть имеет место «кошмар Фубини».