Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Теоре́ма Вейерштра́сса о равноме́рно сходя́щихся ряда́х аналити́ческих фу́нкций^[1]^[2]^[3]^[4]^[5], или просто теорема Вейерштрасса^[6]^[7], или теорема Вейерштрасса о рядах^[8]^[9] (1859^[3]) — следующая теорема комплексного анализа, раздела математики^[10]^[11].

Если бесконечный ряд функций, аналитических в некоторой области комплексной плоскости, сходится равномерно в любой замкнутой подобласти данной области, то:

1) сумма ряда определяет аналитическую функцию в исходной области;

2) ряд можно почленно^[англ.] дифференцировать любое количество раз^[10]^[11]^[12]^[13]^[14].

Следствие. Сумма степенного ряда есть аналитическая функция в произвольной области, в которой он равномерно сходится^[15]^[16]^[17].

Теорема Вейерштрасса определяет условия, при которых сумма сходящегося ряда аналитических функций будет снова аналитической. Этим условием и является равномерная сходимость ряда в данной области или как минимум в любой замкнутой подобласти^[10].

Первая часть теоремы Вейерштрасса говорит о том, что равномерный переход к пределу сохраняет свойство аналитичности, вторая — что для аналитических функций условия почленного дифференцирования рядов проще, чем в обычном анализе^[12].

Существует эквивалентная формулировка теоремы Вейерштрасса, в которой вместо сходящего ряда используется сходящаяся последовательность^[18]^[19]^[20]. Также при доказательстве теоремы Вейерштрасса о рядах могут сразу перейти к последовательностям^[21].

Замечание. Теорема Вейерштрасса лежит в основе изучении одинарных и кратных рядов, составленных из аналитических функций^[22]. Теорема специфична не для действительных, а именно для комплексных функциональных рядов^[6]. Для действительных чисел нет такой простой теоремы, поскольку равномерно сходящийся ряд действительных функций в общем случае почленно не дифференцируется^[10]. Для почленного дифференцирования ряда действительных функций требуется не только сходимость ряда, но ещё и равномерная сходимость ряда из производных^[11].

Применяя теорему Вейерштрасса, нельзя забывать, что она говорит о рядах голоморфных функций, которые сходятся в области, то есть в открытом связном множестве. В случае неоткрытого множества теорема Вейерштрасса может быть неверна^[23].

Авторы могут говорить не об одной теореме Вейерштрасса, а о двух, нумеруя обе части теоремы: первая и вторая теоремы Вейерштрасса^[12]^[24]^[13].

С другой стороны, эту теорему иногда называют первой теоремой Вейерштрасса^[10], подразумевая под второй теоремой Вейерштрасса^[25] теорему Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области^[26].

Теорема Вейерштрасса обобщается на ряды аналитических функций многих комплексных переменных, сохраняя название и формулировку^[4]. Также интегрирование функции по кривой или поверхности, замыкание которых принадлежит исходной ограниченной области, производится почленным интегрированием исходного ряда. Аналогичные предложения имеют место и для кратных рядов, составленных из голоморфных функций. Доказательство этих теорем осуществляется так же, как в случае одного переменного^[22].

Теорема Вейерштрасса на комплексной плоскости

Первая часть теоремы Вейерштрасса

Первая часть теоремы Вейерштрасса. Дано: бесконечный ряд функций

f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)

,

аналитических в некоторой области $D$ комплексной плоскости $\mathbb {C}$ , $D\subseteq \mathbb {C}$ , причём ряд равномерно сходится к сумме $f(z)$ в любой замкнутой области ${\bar {D'}}$ , полностью находящейся в исходной области $D$ , ${\bar {D'}}\subset D$ . Доказать: в области $D$ функция $f(z)$ аналитическая^[10]^[2]^[3]^[4]^[6]^[27]^[28]^[29]^[30]^[31]^[14].

При доказательстве первой части теоремы Вейерштрасса всегда используется интегральной формулы Коши, тогда как вторая часть теоремы Вейерштрасса следует из неравенств Коши^[32].

Приведём четыре разных доказательства первой части этой теоремы. Первое доказательство, кроме интегральной формулы Коши, использует теорему об интегрировании равномерно сходящегося ряда, второе доказательство — теорему Мореры^[33]. Третье доказательство непосредственное и универсальное, по его схеме доказывается также и вторая часть теоремы Вейерштрасса^[34]. При четвёртом доказательстве осуществляется переход от рядов функций к последовательностям функций^[35].

Доказательство 1^[33]^[36]

1. Непрерывность суммы ряда. Так как ряд

f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)

сходится равномерно, то, по теореме о непрерывности суммы ряда, его сумма $f(z)$ — непрерывная функция в любой замкнутой области ${\bar {D'}}\subset D$ , следовательно, и во всей области $D$ . Осталось доказать, что в любой точке $z_{0}$ области $D$ у функции $f(z)$ есть конечная производная.

2. Замкнутый контур. Построим вокруг произвольной точки $z_{0}\in D$ замкнутый кусочно-гладкий контур^[англ.]^* $C$ такой, что сам контур и его внутренность лежат в области $D$ . На этом контуре $C$ данный ряд сходится равномерно по условию теоремы. Пусть $w$ — любая точка на контуре $C$ , а $z$ — любая точка внутри контура $C$ . Тогда разделим все члены ряда на разность $w-z$ , получим ряд

{\frac {f(w)}{w-z}}={\frac {f_{1}(w)}{w-z}}+{\frac {f_{2}(w)}{w-z}}+\cdots +{\frac {f_{k}(w)}{w-z}}+\cdots

,

который равномерно сходится для любых точек $z\in C$ . Такой ряд, согласно теореме об интегрировании равномерно сходящегося ряда, почленно интегрируется вдоль замкнутой кривой $C$ .

3. Интегрирование вдоль контура. Проинтегрируем ряд вдоль замкнутой кривой $C$ , поделив все члены ряда на $2\pi i$ :

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f(w)dw}{w-z}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f_{1}(w)dw}{w-z}}+

{}+{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f_{2}(w)dw}{w-z}}+\cdots +{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f_{k}(w)dw}{w-z}}+\cdots

,

и поскольку функции $f_{k}(z)$ аналитические всюду внутри контура $C$ и на самом контуре по условию теоремы, то, по интегральной формуле Коши, перепишем последний ряд в следующем виде:

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f(w)dw}{w-z}}=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots

,

то есть снова в виде интегральной формуле Коши

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f(w)dw}{w-z}}

.

4. Конечная производная. Поскольку последняя интегральной формуле Коши для функции $f(z)$ верна для всех внутренних точек $z$ контура $C$ , то, в силу соответствующей теоремы, во всех этих точках $f(z)$ имеет конечную производную

f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f(w)dw}{(w-z)^{2}}}

,

в частности, у функции $f(z)$ есть конечная производная в точке $z=z_{0}$ . Но $z_{0}$ — это, по определению, любая точка области $D$ , следовательно, в области $D$ функция $f(z)$ аналитическая, что и требовалось доказать.

Доказательство 2^[37]^[38]^[39]^[29]^[40]

1. Непрерывность суммы ряда. Так как ряд

f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)

сходится равномерно, то, по теореме о непрерывности суммы ряда, его сумма $f(z)$ — непрерывная функция в любой замкнутой области ${\bar {D'}}\subset D$ , следовательно, и во всей области $D$ .

2. Замкнутый контур. Построим вокруг произвольной точки $z_{0}\in D$ замкнутый кусочно-гладкий контур^[англ.]^* $C$ такой, что сам контур и его внутренность лежат в области $D$ . На этом контуре $C$ данный ряд сходится равномерно по условию теоремы. Следовательно, он интегрируется почленно вдоль кривой $C$ :

\int \limits _{C}f(w)dw=\int \limits _{C}f_{1}(w)dw+

{}+\int \limits _{C}f_{2}(w)dw+\cdots +\int \limits _{C}f_{k}(w)dw+\cdots

,

а поскольку все функции $f_{k}(z)$ аналитические внутри и на контуре $C$ , то по интегральной теореме Коши

\int \limits _{C}f_{k}(w)dw=0,\quad k=1,\,2,\,3,\,\dots

,

откуда

\int \limits _{C}f(w)dw=0

.

3. Теорема Мореры. Получили, что сумма ряда из условия теоремы — это непрерывная функция $f(z)$ в области $D$ , причём интеграл $\int \limits _{C}f(w)dw=0$ берётся вдоль любого замкнутого контура $C$ из некоторой окрестности точки $z_{0}$ . Тогда, по теореме Мореры, функция $f(z)$ в указанной выше окрестности точки $z_{0}$ аналитическая. Но $z_{0}$ — это, по определению, любая точка области $D$ , следовательно, в области $D$ функция $f(z)$ аналитическая, что и требовалось доказать.

Доказательство 3^[34]^[41]

1. Окрестность точки. Рассмотрим любую точку $z_{0}$ области $D$ , $z_{0}\in D$ . Построим окружность $\Gamma \colon |z-z_{0}|=2d$ с центром в точке $z_{0}$ и такого маленького радиуса $2d>0$ , чтобы она и весь замкнутый круг $|z-z_{0}|\leqslant 2d$ принадлежали области $D$ . Осталось доказать, что сумма ряда $f(z)$ из условия теоремы — это аналитическая функция в $d$ -окрестности $|z-z_{0}|<d$ точки $z_{0}$ .

2. Равномерная сходимость. Возьмём две произвольные точки: $w$ на окружности $\Gamma$ , $w\in \Gamma$ , и $z$ в $d$ -окрестности $|z-z_{0}|<d$ . Преобразуем ряд

f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots

из условия теоремы, заменив $z$ на $w$ и умножив на ${\frac {1}{2\pi i(w-z)}}$ , получим:

{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {f(w)}{w-z}}={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {f_{1}(w)}{w-z}}+{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {f_{2}(w)}{w-z}}+\cdots +{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {f_{k}(w)}{w-z}}+\cdots

,

а поскольку исходный ряд из условия теоремы равномерно сходится на окружности $\Gamma$ , причём

\left|{\frac {1}{2\pi i(w-z)}}\right|<{\frac {1}{2\pi d}}

,

то новый ряд также равномерно сходится на окружности $\Gamma$ и его можно почленно интегрировать. По интегральной формуле Коши интеграл от каждого члена нового ряда равен $f_{k}(z)$ , и получаем:

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)dw}{w-z}}=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =f(z)

,

то есть в $d$ -окрестности точки $z_{0}$ сумма ряда $f(z)$ из условия теоремы представлена интегралом типа Коши:

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)dw}{w-z}}

,

а это означает, что $f(z)$ — аналитическая функция в точке $z_{0}$ . Но $z_{0}\in D$ — произвольная точка, поэтому $f(z)$ — аналитическая функция в области $D$ .

Доказательство 4^[35]

Пусть $S_{N}(z)$ — частичная сумма исходного ряда

f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)

,

то есть

S_{N}(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{N}(z)=\sum \limits _{k=1}^{N}f_{k}(z)

.

1. Окрестность точки. Рассмотрим любую точку $z_{0}$ области $D$ , $z_{0}\in D$ . Построим окружность $\Gamma \colon |z-z_{0}|=2d$ с центром в точке $z_{0}$ и такого маленького радиуса $2d>0$ , чтобы она и весь замкнутый круг $|z-z_{0}|\leqslant 2d$ принадлежали области $D$ . Осталось доказать, что сумма предел последовательности $S_{N}(z)$ — это аналитическая функция в $d$ -окрестности $|z-z_{0}|<d$ точки $z_{0}$ .

2. Равномерная сходимость. Поскольку для любого $N\in \mathbb {N}$ новая функция $S_{N}(z)$ аналитична в области $D$ , то по интегральной формуле Коши для любого $z\in \Gamma$

S_{N}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {S_{N}(w)}{w-z}}dw

.

Так как, по условию теоремы, исходный ряд равномерно сходится в любой замкнутой подобласти области $D$ , в сами функции $f_{k}(z)$ непрерывны в области $D$ , то, по теореме о непрерывности, частичная сумма ряда $S_{N}(z)$ также непрерывна в области $D$ .

Далее, вследствие равномерной сходимости исходного ряда в замкнутом круге $|z-z_{0}|\leqslant 2d$ имеем, что для любого числа $\epsilon >0$ найдётся такое $N(\epsilon )$ , что для любого $N\leqslant N(\epsilon )$ верно неравенство

\sup _{w\in \Gamma }|S_{N}(w)-f(w)|<\epsilon

.

Отсюда для произвольной точки $z$ из $d$ -окрестности и натурального числа $N\geqslant N(\epsilon )$ имеем:

\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {S_{N}(w)}{w-z}}dw-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\right|\leqslant

{}\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }{\frac {|S_{N}(w)-f(w)|}{|w-z|}}|dw|\leqslant {\frac {\epsilon }{2\pi d}}2\pi 2d=2\epsilon

.

По причине произвольности числа $\epsilon >0$ из последнего уравнения и последних неравенств для любого $z$ из $d$ -окрестности имеем:

\lim _{N\to \infty }S_{N}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw

.

то есть

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {S(w)}{w-z}}dw

.

Правая часть последнего уравнения — интеграл типа Коши от непрерывной функции $f(w)$ . По основному свойству он бесконечно дифференцируем, другими словами, сумма ряда $f(z)$ есть аналитическая функция в окрестности любой точки $z_{0}\in D$ , следовательно, что сумма ряда $f(z)$ аналитична во всей области $D$ .

В итоге получаем, что функции $S_{N}(z)$ и $f(z)$ аналитичны в области $D$ , то есть, по теореме о бесконечной дифференцируемости, в $D$ имеются производные $S_{N}^{(m)}(z)$ и $f^{(m)}(z)$ при любом $m\in \mathbb {N}$ .

Следствие. Сумма следующего степенного ряда

a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})_{2}+\cdots

есть аналитическая функция в произвольной области, в которой он равномерно сходится^[15]^[16]^[17].

Вторая часть теоремы Вейерштрасса

Вторая часть теоремы Вейерштрасса. Дано: бесконечный ряд функций

f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)

,

аналитических в некоторой области $D$ комплексной плоскости $\mathbb {C}$ , $D\subseteq \mathbb {C}$ , причём этот ряд равномерно сходится к сумме $f(z)$ в любой замкнутой области ${\bar {D'}}$ , полностью находящейся в исходной области $D$ , ${\bar {D'}}\subset D$ . Доказать: при дифференцировании этого ряда любое количество раз $m$ возникает новый ряд

f^{(m)}(z)=f_{1}^{(m)}(z)+f_{2}^{(m)}(z)+\cdots +f_{k}^{(m)}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}^{(m)}(z)

,

также равномерно сходящийся в любой замкнутой области ${\bar {D'}}\subset D$ и определяющий соответствующую производную функции $f(z)$ ^[10]^[2]^[4]^[6]^[27]^[39]^[28]^[42]^[13]^[31]^[14].

Замечание. Если ряд

f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)

сходится равномерно во всей области $D$ , то ряд из производных

f'(z)=f'_{1}(z)+f'_{2}(z)+\cdots +f'_{k}(z)+\cdots

,

будет сходиться вовсе не в этой же области $D$ , а только в любой замкнутой области (компакте) ${\bar {D'}}$ , целиком лежащей в $D$ . Например, ряд

{\frac {z}{1}}+{\frac {z^{2}}{2^{2}}}+{\frac {z^{3}}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n^{2}}}+\cdots

сходится равномерно в даже замкнутом круге $|z|\leqslant 1$ , поскольку в этом круге сходящийся ряд

1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots

его мажорирует. Но ряд из его производных

1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{3}}+\cdots +{\frac {z^{n-1}}{n}}+\cdots

сходится равномерно не в открытом круге $|z|<1$ , а в любом меньшем замкнутом круге $|z|\leqslant r$ , $r<1$ , поскольку он расходится при $z=1$ ^[43]^[44].

Приведём два разных доказательства первой части этой теоремы. При втором доказательстве осуществляется переход от рядов функций к последовательностям функций^[45].

Доказательство 1^[46]^[34]^[41]^[38]^[39]^[47]

1. Замкнутый контур. Построим вокруг произвольной точки $z_{0}\in D$ замкнутый кусочно-гладкий контур^[англ.]^* $C$ такой, что сам контур и его внутренность лежат в области $D$ . На этом контуре $C$ данный ряд сходится равномерно по условию теоремы. Пусть $w$ — любая точка на контуре $C$ , а $z$ — любая точка внутри контура $C$ . Тогда разделим все члены ряда на разность $(w-z)^{2}$ , получим ряд

{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}={\frac {f_{1}(w)}{(w-z)^{2}}}+

{}+{\frac {f_{2}(w)}{(w-z)^{2}}}+\cdots +{\frac {f_{k}(w)}{(w-z)^{2}}}+\cdots

,

который равномерно сходится для любых точек $z\in C$ . Такой ряд, согласно теореме об интегрировании равномерно сходящегося ряда, почленно интегрируется вдоль замкнутой кривой $C$ .

2. Интегрирование вдоль контура. Проинтегрируем ряд вдоль замкнутой кривой $C$ , поделив все члены ряда на $2\pi i$ :

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f(w)dw}{(w-z)^{2}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f_{1}(w)dw}{(w-z)^{2}}}+

{}+{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f_{2}(w)dw}{(w-z)^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f_{k}(w)dw}{(w-z)^{2}}}+\cdots

,

и поскольку функции $f_{k}(z)$ аналитические всюду внутри контура $C$ и на самом контуре по условию теоремы, то, по интегральной формуле Коши, перепишем последний ряд в следующем виде:

f'(z)=f'_{1}(z)+f'_{2}(z)+\cdots +f'_{k}(z)+\cdots

,

то есть ряд, составленный из производны от членов ряда в формулировке теоремы, сходится к производной от суммы того же ряда в любой точке $z$ внутри контура $C$ , в частности, в точке $z=z_{0}$ . Но $z_{0}$ — это, по определению, любая точка области $D$ , следовательно, ряд можно почленно дифференцировать в любой точке области $D$ . Теперь достаточно показать, что последний ряд, составленный из производны от членов ряда в формулировке теоремы, сходится равномерно в любой замкнутой области ${\bar {D'}}$ , полностью находящейся в исходной области $D$ , ${\bar {D'}}\subset D$ .

3. Окрестность точки. Пусть теперь $z_{0}$ — любая точка замкнутой области ${\bar {D'}}$ , $z_{0}\in {\bar {D'}}$ . Построим окружность $\Gamma$ с центром в точке $z_{0}$ и такого маленького радиуса $2d$ , чтобы она вместе со своей внутренностью принадлежала области $D$ . Построим также окрестность $\sigma _{z_{0}}$ точки $z_{0}$ : $|z-z_{0}|<d$ . Очевидно, что если точка $w$ движется по окружности $\Gamma$ , а точка $z$ не выходит из окрестности $\sigma _{z_{0}}$ , то расстояние между этими двумя точками $|w-z|>d$ . Поскольку ряд в формулировке теоремы сходится равномерно на точках окружности $\Gamma$ , то при произвольном сколь угодно малом $\epsilon$

|f_{k+1}(w)+f_{k+2}(w)+\cdots |<\epsilon ,\quad k\geqslant N=N,(\epsilon )

для любой точки $w\in \Gamma$ .

4. Равномерная сходимость. Применим последнее строгое неравенство к следующим членам ряда из производных, начиная с $(n+1)$ -го:

f'_{n+1}(z)+f'_{n+2}(z)+\cdots ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f_{n+1}(w)+f_{n+2}(w)+\cdots }{(w-z)^{2}}}dw

,

получим:

|f'_{n+1}(z)+f'_{n+2}(z)+\cdots |<{\frac {\epsilon 4\pi d}{2\pi d^{2}}}={\frac {2\epsilon }{d}}

,

а это означает, что остаточный член ряда из производных, начиная с достаточно большого номера, меньше по модулю сколь угодно малого числа ${\frac {2\epsilon }{d}}>0$ независимо от точки $z\in \sigma _{z_{0}}$ . Иначе говоря, доказано, что ряд из производных равномерно сходится в окрестности $\sigma _{z_{0}}$ любой точки $z_{0}\in {\bar {D'}}$ . Следовательно, по лемме Гейне — Бореля область ${\bar {D'}}$ можно покрыть конечным числом окрестностей $\sigma$ , причём в каждой из этих областей ряд из производных равномерно сходится. Поэтому ряд из производных

f'(z)=f'_{1}(z)+f'_{2}(z)+\cdots +f'_{k}(z)+\cdots

равномерно сходится во всей области ${\bar {D'}}$ .

5. Производные высших порядков. В силу соответствующей теоремы, производная аналитической функции — функция тоже аналитическая, следовательно, ряд

f'(z)=f'_{1}(z)+f'_{2}(z)+\cdots +f'_{k}(z)+\cdots

представляет собой ряд функций, аналитических в области $D$ , а также равномерно сходящийся в любой замкнутой области ${\bar {D'}}\subset D$ . Применяя к этому ряду предыдущее доказательство, получаем:

f''(z)=f''_{1}(z)+f''_{2}(z)+\cdots +f''_{k}(z)+\cdots

,

и так далее, в итоге при любом $m\in \mathbb {N}$ имеем:

f^{(m)}(z)=f_{1}^{(m)}(z)+f_{2}^{(m)}(z)+\cdots +f_{k}^{(m)}(z)+\cdots

,

и кроме того, все эти ряды равномерно сходятся в любой замкнутой области ${\bar {D'}}\subset D$ .

Доказательство 2^[45]

Пусть $S_{N}(z)$ — частичная сумма исходного ряда

f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)

,

то есть

S_{N}(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{N}(z)=\sum \limits _{k=1}^{N}f_{k}(z)

.

1. Окрестность точки. Зафиксируем любую точку $z_{0}$ области $D$ , $z_{0}\in D$ . Построим любую $d$ -окрестность $|z-z_{0}|<d$ точки $z_{0}$ такую, что её замыкание лежит в области $D$ и, кроме того, окружность $\Gamma$ с центром в точке $z_{0}$ и радиусом $2d$ вместе со своей внутренностью принадлежит области $D$ .

2. Равномерная сходимость. По теореме о бесконечной дифференцируемости при любом $m\in \mathbb {N}$ имеем для любой точки $z$ из замыкания $d$ -окрестности $|z-z_{0}|<d$ и аналитических функций $S_{N}(z)$ и $f(z)$ :

S_{N}^{(m)}(z)={\frac {m!}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {S_{N}(w)}{(w-z)^{m+1}}}dw

,

f^{(m)}(z)={\frac {m!}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{m+1}}}dw

.

Далее, вследствие равномерной сходимости исходного ряда в замкнутом круге $|z-z_{0}|\leqslant 2d$ имеем, что для любого числа $\epsilon >0$ найдётся такое $N(\epsilon )$ , что для любого $N\leqslant N(\epsilon )$ верно неравенство

\sup _{w\in \Gamma }|S_{N}(w)-f(w)|<\epsilon

.

Следовательно, для любого $\epsilon >0$ и любого $N\geqslant N(\epsilon )$ и для любой точки $z$ из замыкания $d$ -окрестности $|z-z_{0}|<d$ получаем оценку

|S_{N}^{(m)}(z)-f^{(m)}(z)|={\frac {m!}{2\pi }}\left|\int _{\Gamma }{\frac {S_{N}(w)-f(w)}{(w-z)^{m+1}}}dw\right|\leqslant

{}\leqslant {\frac {m!}{2\pi d^{m+1}}}\sup _{w\in \Gamma }|S_{N}(w)-f(w)|2\pi 2d<{\frac {2m!}{d^{m}}}\epsilon

.

Окончательно получаем, что последовательность частичных суии $S_{N}^{(m)}(z)$ сходится к функции $f^{(m)}(z)$ равномерно на замыкании $d$ -окрестности. А поскольку точка $z_{0}$ и $d$ -окрестность выбраны произвольно, то последовательность частичных суии $S_{N}^{(m)}(z)$ сходится к функции $f^{(m)}(z)$ равномерно в любой замкнутой области ${\bar {D'}}\subset D$ .

Доказательство с использованием рядов Тейлора

Рассмотрим бесконечную последовательность степенных рядов

{\mathfrak {P}}_{1}(z),\,{\mathfrak {P}}_{2}(z),\,\dots ,\,{\mathfrak {P}}_{k}(z),\,\dots

с радиусами сходимости, большими некоторого числа $\rho >0$ . Построив круг $\{K\colon z\in \mathbb {C} ,\,|z|<\rho \}$ , получим, что все эти ряды сходятся как внутри, так и на границе круга $K$ ^[48].

Теорема о равномерной сходимости степенных рядов. Дано: степенной ряд функций

{\mathfrak {P}}_{1}(z)+{\mathfrak {P}}_{2}(z)+\cdots +{\mathfrak {P}}_{k}(z)+\cdots

,

равномерно сходящийся на окружности $|z|=\rho$ круга $K$ . Доказать: в любой внутренней точке $z$ круга $K$ , $z\in K$ , справедливо равенство

{\mathfrak {P}}_{1}(z)+{\mathfrak {P}}_{2}(z)+\cdots +{\mathfrak {P}}_{k}(z)+\cdots ={\mathfrak {P}}(z)

,

где ${\mathfrak {P}}(z)$ — новые степенной ряд, образованный формальным сложением всех степенный рядов, находящихся в левой часи равенства^[31].

Положим

{\mathfrak {P}}_{m}(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{km}z^{k}

,

тогда теорема утверждает, что ряды коэффициентов

c_{k}=c_{k1}+c_{k2}+c_{k3}+\cdots

сходятся при каждом $k=0,\,1,\,2,\,\dots ,$ а ряд

{\mathfrak {P}}(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}

сходится во всех внутренних точках круга $K$ , причём имеет место следующее равенство^[49]:

{\mathfrak {P}}_{1}(z)+{\mathfrak {P}}_{2}(z)+\cdots +{\mathfrak {P}}_{k}(z)+\cdots ={\mathfrak {P}}(z)

.

Доказательство^[50]

1. Неравенства. Так как ряд с общим членом

{\mathfrak {P}}_{m}(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{km}z^{k}

равномерно сходится на окружности круга $K$ , то для любого числа $\epsilon >0$ имеется такое натуральное число $N\in \mathbb {N}$ , что неравенство

|{\mathfrak {P}}_{m+1}(z)+{\mathfrak {P}}_{m+2}(z)+\cdots +{\mathfrak {P}}_{m+l}(z)|\leqslant \epsilon

верно в любой точке $z$ окружности круга $K$ при произвольном $l>0$ , когда $m>N$ . Из этого неравенства по неравенству Коши для коэффициентов ряда Лорана вытекает неравенство

|c_{k(m+1)}+c_{k(m+2)}+\cdots +c_{k(m+l)}|\leqslant {\frac {\epsilon }{\rho _{k}}},\quad k=0,\,1,\,2,\,\dots .

Поэтому сходятся следующие ряды:

c_{k1}+c_{k2}+c_{k3}+\cdots =c_{k},\quad k=0,\,1,\,2,\,\dots .

Обозначим

r_{km}=c_{k}-(c_{k1}+c_{k2}+\cdots +c_{km})

,

тогда при $m>N$ верны также неравенства

|r_{km}|\leqslant {\frac {\epsilon }{\rho _{k}}},\quad k=0,\,1,\,2,\,\dots .

2. Сходимость рядов. Пусть $z$ — любая тоска внутри круга $K$ . Тогда $|z|=\rho _{1}<\rho$ , поэтому сходится следующий ряд:

\sum \limits _{k=0}^{\infty }(c_{k1}+c_{k2}+\cdots +c_{km})z^{k}={\mathfrak {P}}_{1}(z)+{\mathfrak {P}}_{2}(z)+\cdots +{\mathfrak {P}}_{m}(z)

.

Кроме того, при $m>N$ сходится также и следующий ряд:

\sum \limits _{k=0}^{\infty }r_{km}z^{k}={\mathfrak {O}}_{m}(z)

,

поскольку, с учётом неравенства $|r_{km}|\leqslant {\frac {\epsilon }{\rho _{k}}}$ , последний ряд мажорируется следующим сходящимся рядом:

\sum \limits _{k=0}^{\infty }\epsilon \left({\frac {\rho _{1}}{\rho }}\right)^{k}={\frac {\epsilon }{1-\rho _{1}/\rho }}

,

поэтому

{\mathfrak {O}}_{m}(z)\leqslant {\frac {\epsilon }{1-\rho _{1}/\rho }}

.

Следовательно, ряд

\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}z_{k}={\mathfrak {P}}_{1}(z)+{\mathfrak {P}}_{2}(z)+\cdots +{\mathfrak {P}}_{m}(z)+{\mathfrak {O}}_{m}(z)={\mathfrak {P}}(z)

также сходится при заданном значении при $z$ , причём при $m>N$ выполняется следующее неравенство:

|{\mathfrak {P}}(z)-{\mathfrak {P}}_{1}(z)-{\mathfrak {P}}_{2}(z)-\cdots -{\mathfrak {P}}_{m}(z)|={\mathfrak {O}}_{m}(z)\leqslant {\frac {\epsilon }{1-\rho _{1}/\rho }}

,

откуда, поскольку $\epsilon$ любое, имеем равенство

{\mathfrak {P}}(z)={\mathfrak {P}}_{1}(z)+{\mathfrak {P}}_{2}(z)+\cdots +{\mathfrak {P}}_{k}(z)+\cdots

,

что и требовалось доказать.

Эта теорема просто переносится на ряды по степеням комплексных выражений $z-a$ или ${\frac {1}{z}}$ . Из этой этой теоремы вытекает следующая теорема Вейерштрасса для аналитических функций^[51].

Теорема Вейерштрасса о рядах. Дано: бесконечный ряд функций

f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)

,

аналитических в некоторой области $D$ комплексной плоскости $\mathbb {C}$ , $D\subseteq \mathbb {C}$ , причём ряд равномерно сходится к сумме $f(z)$ в любой замкнутой области ${\bar {D'}}$ , полностью находящейся в исходной области $D$ , ${\bar {D'}}\subset D$ . Доказать: 1) в области $D$ функция $f(z)$ аналитическая; 2) при дифференцировании этого ряда любое количество раз $m$ возникает новый ряд

f^{(m)}(z)=f_{1}^{(m)}(z)+f_{2}^{(m)}(z)+\cdots +f_{k}^{(m)}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}^{(m)}(z)

,

также равномерно сходящийся в любой замкнутой области ${\bar {D'}}\subset D$ и определяющий соответствующую производную функции $f(z)$ ^[51].

Доказательство^[52]

1. Первая часть теоремы. Построим вокруг произвольной точки $z_{0}\in D$ круг $K$ такой, что сам круг и его граница лежат в области $D$ . На окружности этого круга данный в условии теоремы ряд

f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)

равномерно сходится. По теореме Тейлора в этом круге $K$ и на его границе выполняются следующие равенства:

f_{k}(z)=f_{k}(z_{0})+{\frac {z-z_{0}}{1!}}f'_{k}(z_{0})+{\frac {(z-z_{0})^{2}}{2!}}f''_{k}(z_{0})+\cdots

,

и по доказанной выше теореме о равномерной сходимости степенных рядов данный в условии ряд в круге $K$ есть следующий степенной ряд:

\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}{\frac {(z-z_{0})^{k}}{k!}}

,

где $c_{k}=f_{1}^{(k)}(z_{0})+f_{2}^{(k)}(z_{0})+\cdots$ .

Следовательно, данная функция $f(z)$ аналитическая в области $D$ , поскольку точка $z_{0}$ — произвольная точка области $D$ .

2. Вторая часть теоремы. Сравним разложение функции $f(z)$ в ряд Тейлора

f(z)=f(z_{0})+{\frac {z-z_{0}}{1!}}f'(z_{0})+{\frac {(z-z_{0})^{2}}{2!}}f''(z_{0})+\cdots

с разложением этой функции в степенной ряд, получаем, что

f^{(k)}(z_{0})=f_{1}^{(k)}(z_{0})+f_{2}^{(k)}(z_{0})+\cdots

,

что и требовалось доказать.

Равномерная сходимость внутри области

Равномерная сходимость внутри области $D$ — равномерная сходимость ряда функций в точках любой ограниченной замкнутой области ${\bar {D'}}$ , полностью находящейся в области $D$ , ${\bar {D'}}\subset D$ , $D'\Subset D$ ^[53].

Произвольное множество $A$ , замыкание которого принадлежит некоторому другому множеству $B$ , ${\bar {A}}\subset B$ , называется предкомпактным в $B$ , или компактным относительно $B$ , или строго содержащимся в $B$ . Такое отношение двух множеств обозначается $A\Subset B$ ^[54]^[55].

Некоторые авторы используют термин «равномерная сходимость» для сокращения теста. Любой ряд функций, просто равномерно сходящийся в области, сходится равномерно и в каждой её замкнутой подобласти и, следовательно, равномерно сходится внутри области. Обратное, в общем случае, неверно, как следует из следующего примера^[53].

Пример. Рассмотрим геометрический ряд

1+z+z^{2}+\cdots +z^{k}+\cdots

,

который сходится в единичном круге $|z|<1$ неравномерно. При этом он равномерно сходится внутри единичного круга. Докажем это утверждение. Возьмём любую замкнутую подобласть $F$ единичного круга, и пусть расстояние от неё до границы исходной области — единичной окружности — равно $\delta$ . Тогда для произвольной точки $z\in F$ получаем $|z|\leqslant 1-\delta$ , откуда имеем, что величина

|z^{k+1}+\cdots +z^{k+p}|=\left|z^{k+1}{\frac {1-z^{p}}{1-z}}\right|\leqslant |z|^{k+1}{\frac {1+|z|^{p}}{1-|z|}}\leqslant (1-\delta )^{k+1}{\frac {2}{\delta }}

стремится к нулю при $k\to \infty$ и всегда может быть меньше любого $\epsilon >0$ при некотором $N(\epsilon )<k$ . В итоге получили, что геометрический ряд равномерно сходится на всех точках любой замкнутой подобласти $F$ единичного круга и, следовательно, равномерно сходится внутри единичного круга, хотя и не сходится равномерно в единичном круге^[53].

Примеры рядов, сходящихся не в области

Чтобы правильно использовать теорему Вейерштрасса, необходимо учитывать, что она сформулирована и доказана для рядов аналитических функций, равномерно сходящихся в области. Когда ряд равномерно сходится на любом не открытом множестве, теорема может быть неверна^[23].

По теореме Вейерштрасса в следующих двух примерах не существует области, которая включала бы точки всей действительной оси или хотя бы её произвольной части, в которой представленные ряды сходились бы равномерно. Иначе эти ряды вошли бы в противоречие с теоремой Вейерштрасса^[56].

Пример 1 (Вейерштрасс). Рассмотрим функцию

f(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }b^{k}\cos(ax\pi )

,

где $n$ — нечётное целое число, $0<b<1$ . Этот ряд есть сумма функций, аналитических во всех точках действительной оси и даже во всех точках комплексной плоскости. Ряд равномерно сходится на действительной оси, так как абсолютная величина общего члена ряда $|b^{k}\cos(ax\pi )|\leqslant b^{k}$ , где $\sum \limits _{k=0}^{\infty }b^{k}$ — сходящийся геометрический ряд. Но сумма ряда даже не аналитическая функция в точках действительной оси, поскольку, по результатам Вейерштрасса, эта сумма не дифференцируема ни при каких $x$ ^[23].

Пример 2. Рассмотрим функциональный ряд

\sin x+\left({\frac {\sin 2x}{2}}-\sin x\right)+\left({\frac {\sin 3x}{3}}-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+\cdots

,

члены которого суть функции, аналитические во всех точках действительной оси и даже во всех точках комплексной плоскости. И этот ряд сходится равномерно на действительной оси. Кроме того, его сумма, тождественно равная нулю, есть аналитическая функция. Действительно, частичная сумма этого ряда равна

\sin x+\left({\frac {\sin 2x}{2}}-\sin x\right)+\cdots +\left({\frac {\sin kx}{k}}-{\frac {\sin(k-1)x}{k-1}}\right)={\frac {\sin kx}{k}}

,

а $\left|{\frac {\sin kx}{k}}\right|\leqslant {\frac {1}{k}}$ , следовательно, этот ряд сходится равномерно к нулю. Онако при почленном дифференцировании получается ряд

\cos x+(\cos 2x-\cos x)+\cdots +(\cos kx-\cos(k-1)x)+\cdots

,

частичные суммы которого равны

\cos x,\cos 2x,\cdots ,\cos kx,\cdots

,

следовательно, последовательность этих сумм расходится при любом $x\neq 2n\pi$ , а при $x=2n\pi$ сходится к единице — величине, не равной производной от суммы ряда^[57].

Пример 3. Функциональный ряд $\,\sum \limits _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\cos kx}{k^{2}}}$ равномерно сходится для все вещественных $x$ . Однако ряд первых производных $\,\sum \limits _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {\sin kx}{k}}$ сходится уже неравномерно около точек $x=(2m+1)\pi$ , где $m$ — произвольное целое число, тогда как ряд вторых производных $\,\sum \limits _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}\cos kx$ вовсе не сходится^[16].

Применения теоремы Вейерштрасса

Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области

Вейерштрасс доказал теорему, которой посвящена статья, без использования интеграла Коши. Он использовал так называемый элементарный метод, который основан на разложении голоморфных функций в ряд Тейлора. Но приведённые в статье доказательства с применением интеграла Коши по сути почти непосредственные и, кроме того, позволяют создать другую формулировку теоремы Вейерштрасса, которая используется в некоторых случаях. Эта новая формулировка определяется тем, что равномерная сходимость ряда или последовательности функций была использована только на границе области. В итоге получается следующая теорема^[58]^[59].

Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области. Дано: бесконечный ряд функций

f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)

,

аналитических в некоторой области $D$ комплексной плоскости $\mathbb {C}$ , $D\subseteq \mathbb {C}$ , и непрерывных в замкнутой области ${\bar {D}}$ , причём ряд равномерно сходится на границе области $D$ . Доказать: во всей замкнутой области ${\bar {D}}$ ряд также равномерно сходится^[25]^[56]^[4]^[58]^[60].

Первое доказательство основано на принципе максимума модуля^[61]^[62], второе непосредственно использует определение производной^[63].

Доказательство 1^[61]^[62]

Пусть $w$ — любая точка на границе области $D$ , тогда по условию равномерной сходимости имеет место неравенство

|f_{N+1}(w)+f_{N+2}(w)+\cdots +f_{N+p}(w)|<\epsilon ,\quad

N=N(\epsilon ),\quad

p\geqslant 1,

где $\epsilon$ сколь угодно мало. Поскольку функция

f_{N+1}(z)+f_{N+2}(z)+\cdots +f_{N+p}(z)

аналитична в области $D$ и непрерывна в замкнутой области ${\bar {D}}$ , то, согласно принципу максимума модуля, указанное неравенство выполняется и во всех точках $z$ области $D$ . Следовательно, неравенство верно, если $w$ — любая точка замкнутой области ${\bar {D}}$ , и ряд

f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)

равномерно сходится во всей замкнутой области ${\bar {D}}$ по признаку Вейерштрасса равномерно сходящегося ряда.

Доказанное свойство рядов аналитических функций верно также для аналитических или гармонических функций, определённых в областях как комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$ , $n\geqslant 1$ , так и евклидова пространства $\mathbb {E} ^{n}$ , $n\geqslant 2$ . Более того, доказанное свойство рядов аналитических функций верно всегда, когда применим принцип максимума модуля^[4].

Доказательство 2^[63].

1. Почленное интегрирование. Рассмотрим любую точку $z_{0}$ в области $D$ , и пусть на границе $\partial D$ области $D$ сумма $\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)=f(z)$ . Поскольку величина ${\frac {1}{z-z_{0}}}$ ограничена, если точка $z_{0}$ фиксирована и $z\in \partial D$ , то ряд $\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {f_{k}(z)}{z-z_{0}}}$ равномерно сходится, так как ряд $\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)$ равномерно сходится. Тогда по теореме о почленном интегрировании получаем:

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}\left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)\right){\frac {dz}{z-z_{0}}}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f_{k}(z)}{z-z_{0}}}dz

.

2. Формула Коши. Отсюда по интегральной формуле Коши

\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f_{k}(z)}{z-z_{0}}}dz=\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z_{0})

,

поэтому исходный ряд $\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)$ сходится во всех точках области $D$ , и пусть его сумма равна, как и прежде на контуре $\partial D$ , $f(z)$ . Функция $f(z)$ аналитическая, когда у неё единственная производная во всех точках области $D$ .

3. Производная. Пусть точка $z_{0}+h$ также находится в области $D$ . Тогда

{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(z)dz}{(z-z_{0})(z-z_{0}-h)}}

,

следовательно, так как аналитическая функция имеет производную, существует предел

\lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{2}}}dz

,

то есть $f(z)$ аналитическая в любой точке области $D$ .

4. Почленное дифференцирование. Преобразуем интеграл ${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{2}}}dz$ точно так же, как был преобразован интеграл ${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz$ , получим:

f'(z_{0})=\sum \limits _{k=1}^{\infty }f'_{k}(z_{0})

,

то есть ряд $\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z_{0})$ почленно дифференцируем.

Теорема Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций

Обе теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах функций

f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)=f(z)

непосредственно распространяются на следующие равномерно сходящиеся последовательности функций^[64]:

F_{1}(z),\,F_{2}(z),\,\dots ,\,F_{k}(z),\,\dots ,\quad

\lim _{k\to \infty }F_{k}(z)=F(z).

Замечание. В английской терминологии название теоремы Вейерштрасса таково, что оно подходит сразу для обоих формулировок теоремы (для рядов и для последовательностей): «предельная теорема Вейерштрасса», или «Теорема Вейерштрасса о голоморфности однородных пределов»^[1]^[65].

Действительно, указанная последовательность функций представляется как последовательность частичных сумм следующего ряда функций:

F_{1}(z)+(F_{2}(z)-F_{1}(z))+(F_{3}(z)-F_{2}(z))+\cdots +(F_{k}(z)-F_{k-1}(z))+\cdots ,

причём эта последовательность функций сходится равномерно в некоторой области комплексной плоскости тогда и только тогда, когда равномерно сходится в этой области указанный ряд функций. Следовательно, обе теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах функций применимы к равномерно сходящихся последовательностям функций^[64]^[66].

Сформулируем одну из теорем Вейерштрасса — о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций — для равномерно сходящейся последовательности функций^[19]^[18]^[67]^[32]^[20].

Теорема Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций. Дано: бесконечная последовательность функций

F_{1}(z),\,F_{2}(z),\,\cdots ,\,F_{k}(z),\,\cdots

,

аналитических в некоторой области $D$ комплексной плоскости $\mathbb {C} (z)$ , $D\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ , равномерно сходится к функции $F(z)$ в любой замкнутой области ${\bar {D'}}$ , полностью находящейся в исходной области $D$ , ${\bar {D'}}\subset D$ . Доказать^[19]^[18]^[67]^[32]^[20]:

1) в области $D$ функция $F(z)$ аналитическая;

2) при дифференцировании этой последовательности возникает новая последовательность, также равномерно сходящаяся в любой замкнутой области ${\bar {D'}}\subset D$ и определяющая производную функции $F(z)$ , то есть последовательность можно почленно дифференцировать любое количество раз:

\lim _{k\to \infty }{\frac {d^{m}F_{k}(z)}{dz^{m}}}={\frac {d^{m}F(z)}{dz^{m}}}

при любом

m

.

Теорема Вейерштрасса о семействах аналитических функций

Обобщение последовательности комплексных функций

F_{1}(z),\,F_{2}(z),\,\dots ,\,F_{k}(z),\,\dots ,\quad

\lim _{k\to \infty }F_{k}(z)=F(z).

с натуральным параметром $k$ , используемых в теореме Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций, — это семейство функций с непрерывным параметром $\alpha$ : $F_{\alpha }(z)$ ^[64]^[22]^[20].

Теорема Вейерштрасса о семействах аналитических функций. Дано: функция $F_{\alpha }(z)$ , аналитическая в некоторой области $D$ комплексной плоскости $\mathbb {C} (z)$ , $D\subseteq \mathbb {C}$ , для всех значений комплексного параметра $\alpha$ , лежащих в некоторой окрестности $\alpha _{0}$ , $\alpha \in \alpha _{0}\subset \mathbb {C}$ , причём предел

\lim _{\alpha \to \alpha _{0}}F_{\alpha }(z)=F(z)

достигается равномерно в области $D$ . Доказать^[68]^[64]^[20]:

1) в области $D$ функция $F(z)$ аналитическая;

2) нахождение производных и интегралов от функции $\varphi (z)$ можно проводить под знаком предела.

Эта теорема просто получается из теоремы Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций при построении произвольной последовательности

\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\dots ,\,\alpha _{k},\,\dots ,\quad

\lim _{k\to \infty }\alpha _{k}=\alpha _{0},

поскольку предел

\lim _{k\to \infty }F_{\alpha _{k}}(z)=F(z)

достигается равномерно, и тогда к ряду с частичными суммами

F_{\alpha _{1}}(z),\,F_{\alpha _{2}}(z),\,\dots ,\,F_{\alpha _{k}}(z),\,\dots

применяется теорем Вейерштрасса. Отсюда переход к утверждениям теоремы просто осуществляется при обычной формулировке определения предела $\lim _{\alpha \to \alpha _{0}}F_{\alpha }(z)$ ^[66]^[69].

Пример применения теоремы Вейерштрасса, сформулированной для случая семейства функций — исследование несобственного интеграла типа Коши^[70].

Несобственный интеграл типа Коши

Рассмотрим неограниченную с одной стороны кривую $L$ , определяемую следующим образом:

z=\lambda (t),\quad

\alpha \leqslant t<\beta ,\quad

\lim _{t\to \beta }\lambda (t)=\infty ,

и любая её конечная дуга^[англ.] $L_{\tau }$ , $\alpha \leqslant t\leqslant \tau <\beta$ , спрямляема^[70].

Введём семейство функций $\{F_{\tau }(z)\}$ , составленное из интегралов типа Коши:

F_{\tau }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{L_{\tau }}{\frac {\varphi (w)dw}{w-z}}

,

причём $\varphi (w)$ — непрерывная функция, определённая на кривой $L$ , и поэтому функции семейства $\{F_{\tau }(z)\}$ определены и аналитичны в любой области, в которой нет точек кривой $L$ ^[70].

Лемма. Чтобы семейство функций $\{F_{\tau }(z)\}$ равномерно сходилось в каждой ограниченной замкнутой области ${\bar {D}}$ , в которой нет точек кривой $L$ , должно, например, выполняться условие абсолютной сходимости интеграла $\int \limits _{L}\varphi (w)dw$ , что равнозначно существованию следующего предела^[71]:

\lim _{\tau \to \beta }\int \limits _{L_{\tau }}|\varphi (w)|d\sigma =\int \limits _{L}|\varphi (w)|d\sigma

.

Доказательство. В каждой ограниченной замкнутой области ${\bar {D}}$ , в которой нет точек кривой $L$ , получаем:

|F_{\tau '}(z)-F_{\tau }(z)|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{L_{\tau '}\setminus L_{\tau }}{\frac {\varphi (w)dw}{w-z}}\right|\leqslant {\frac {1}{2\pi \rho }}\left|\int _{L_{\tau '}}|\varphi (w)|d\sigma -\int _{L_{\tau }}|\varphi (w)|d\sigma \right|

,

где $\rho$ — расстояние между замкнутой областью ${\bar {D}}$ и кривой $L$ . Кроме того, для любого $\epsilon >0$ имеется такое $\beta (\epsilon )<\beta$ , что при $\tau ,\,\tau '>\beta (\epsilon )$ верно следующее неравенство^[72]:

|F_{\tau '}(z)-F_{\tau }(z)|<\epsilon

. □

Несобственный интеграл типа Коши вдоль неограниченной кривой $L$ , или интеграл типа Коши вдоль $L$ — несобственный интеграл

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{L}{\frac {\varphi (w)dw}{w-z}}=\lim _{\tau \to \beta }{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{L_{\tau }}{\frac {\varphi (w)dw}{w-z}}

,

который существует, когда функции семейства $\{F_{\tau }(z)\}$ определены и аналитичны в любой области, в которой нет точек кривой $L$ , а само семейство равномерно сходится в каждой такой области^[72].

Из теоремы Вейерштрасса о семействах аналитических функций следует, что этот интеграл типа Коши есть некоторая аналитическая функция $F(z)$ в любой области, в которой нет точек кривой $L$ ^[72].

Из теоремы Вейерштрасса о семействах аналитических функций также следует, что семейство производных

\left\{F_{\tau }^{(m)}(z)={\frac {m!}{2\pi i}}\int _{L_{\tau }}{\frac {\varphi (w)dw}{(w-z)^{m+1}}}\right\}

также равномерно сходится к $F^{(m)}(z)$ . С другой стороны, из равномерной сходимости семейства производных $\{F_{\tau }^{(m)}(z)\}$ вытекает, что имеется также следующий несобственный интеграл^[72]:

{\frac {m!}{2\pi i}}\int \limits _{L}{\frac {\varphi (w)dw}{(w-z)^{m+1}}}=\lim _{\tau \to \beta }{\frac {m!}{2\pi i}}\int \limits _{L_{\tau }}{\frac {\varphi (w)dw}{(w-z)^{m+1}}}

.

Поэтому

F^{(m)}(z)={\frac {m!}{2\pi i}}\int \limits _{L}{\frac {\varphi (w)dw}{(w-z)^{m+1}}}

,

то есть свойства, имеющие место для интегралов типа Коши, справедливы и для несобственных интегралов типа Коши^[72].

Полученные результаты обобщаются без изменения на случай, когда кривая $L$ неограниченна с обеих сторон, другими словами, функция $z=\lambda (t)$ , определенная в интервале $\alpha <t<\beta$ , удовлетворяет условиям $\lim _{t\to \alpha }\lambda (t)=\lim _{t\to \beta }\lambda (t)=\infty$ (например, кривая $L$ — прямая или парабола)^[73].

Степенной ряд по одной функции

В качестве ещё одного применения теоремы Вейерштрасса рассмотрим следующую теорему о степенном ряде по одной функции^[74].

Теорема о степенном ряде по одной функции. Дано: функция $f$ , аналитическая в некоторой области $D$ комплексной плоскости $\mathbb {C}$ , $D\subseteq \mathbb {C}$ , причём значения функции $f$ в области $D$ принадлежат кругу сходимости степенного ряда ${\mathfrak {P}}(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots$ . Доказать: 1) сумма степенного ряда по функции $f$ — функция

F(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}(f(z))^{k}

—

аналитическая в области $D$ ; 2) последнее равенство почленно дифференцируется сколько угодно раз^[74].

Доказательство. Пусть $D'$ — любое замкнутое множество в области $D$ . Значения функции $f$ на множестве $D'$ есть замкнутое множество, принадлежащее кругу сходимости ряда ${\mathfrak {P}}(z)$ . Следовательно, ряд

F(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}(f(z))^{k}

равномерно сходится на множестве $D'$ , и, по теореме Вейерштрасса, его сумма $F(z)$ есть аналитическая функция во внутренних точках множества $D'$ и, кроме того, он почленно дифференцируем во внутренних точках множества $D'$ . Но так как множество $D'$ — произвольное замкнутое, то его всегда можно выбрать так, что произвольно взятая точка области $D$ — это внутренняя точка множества $D'$ . Теорема доказана^[74].

Следствие. В частном случае при аналитичности функции $f$ в области $D$ и сходимости ряда ${\mathfrak {P}}(z)$ во всей конечной комплексной плоскости $\mathbb {C}$ сумма ряда $F(z)$ есть функция, аналитическая в области $D$ , и ряд $F(z)$ дифференцируется сколько угодно раз.

Обобщения теоремы Вейерштрасса

Комплексное пространство

Теорема Вейерштрасса обобщается на ряды аналитических функций многих комплексных переменных, сохраняя название и формулировку^[4]^[22]^[18]^[67]^[32]^[20]. Также интегрирование функции по кривой или поверхности, замыкание которых принадлежит исходной ограниченной области, производится почленным интегрированием исходного ряда. Аналогичные предложения имеют место и для кратных рядов, составленных из голоморфных функций. Доказательство этих теорем осуществляется так же, как в случае одного переменного^[22].

Сформулируем одну из теорем Вейерштрасса — о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций — для случая нескольких комплексных переменных^[4]^[22].

Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций. Дано: бесконечный ряд функций

f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)

,

голоморфных в некоторой области $D$ комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}(z)$ , $n\geqslant 1$ , $z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})$ , $D\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ , причём ряд равномерно сходится к сумме $f(z)$ в любой замкнутой области ${\bar {D'}}$ , полностью находящейся в исходной области $D$ , ${\bar {D'}}\subset D$ . Доказать^[4]^[22]:

1) в области $D$ функция $f(z)$ голоморфная;

2) при любом частном дифференцировании этого ряда любое количество раз возникает новый ряд, также равномерно сходящийся в любой замкнутой области ${\bar {D'}}\subset D$ и определяющий соответствующую частную производную функции $f(z)$ , то есть ряд можно почленно дифференцировать любым способом любое количество раз:

{\frac {\partial ^{|m|}f(z)}{\partial z_{1}^{m_{1}}\partial z_{2}^{m_{2}}\dots \partial z_{n}^{m_{n}}}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{|m|}f_{k}(z)}{\partial z_{1}^{m_{1}}\partial z_{2}^{m_{2}}\dots \partial z_{n}^{m_{n}}}},

m=(m_{1},\,\dots ,\,m_{n})\in \mathbb {Z} _{0}^{n},\quad |m|=m_{1}+\cdots +m_{n},

или

{\frac {\partial ^{|m|}f(z)}{\partial z^{m}}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{|m|}f_{k}(z)}{\partial z^{m}}},

или

D^{m}f(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }D^{m}f_{k}(z).

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству в случае одного переменного на комплексной плоскости^[22].

Следствие 1. Степенной ряд по $z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n}$ , сходящийся в открытом поликруге векторного радиуса $\Delta ^{n}(\mathbf {r} )$ с центром в начале координат комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}(z)$ , имеет сумму, аналитическую в области $\Delta ^{n}(\mathbf {r} )$ ^[32].

Следствие 2. Рассмотрим открытое множество $D\subset \mathbb {C} ^{n}(z)$ , компактное пространство $K(w)$ , меру Радона $\mu (w)$ на $K(w)$ , непрерывную функцию $(z,\,w)\to f(z,\,w)$ на прямом произведении $D\times K$ , причём $z\to f(z,\,w)$ — голоморфная функция на $D$ для любого фиксированного $w\in K(w)$ . Тогда: 1) функция

F(z)=\int \limits _{K}f(z,\,w)d\mu (w)

голоморфна на $D$ ; 2) имеет место следующая формула для частных производных^[32]:

{\frac {\partial ^{|m|}F(z)}{\partial z_{1}^{m_{1}}\partial z_{2}^{m_{2}}\dots \partial z_{n}^{m_{n}}}}=\int \limits _{K}{\frac {\partial ^{|m|}f(z,\,w)}{\partial z_{1}^{m_{1}}\partial z_{2}^{m_{2}}\dots \partial z_{n}^{m_{n}}}}d\mu (w),

m=(m_{1},\,\dots ,\,m_{n})\in \mathbb {Z} _{0}^{n},\quad |m|=m_{1}+\cdots +m_{n}.

Отсюда вытекает интегральная формула Коши для частных производных функции, которая голоморфна в замкнутом поликруге векторного радиуса^[32].

Топологическое пространство

Теорему Вейерштрасса можно топологизировать, то есть интерпретировать в терминах топологического векторного пространства^[67].

Рассмотрим область $D$ комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}(z)$ . Обозначим множество всех непрерывных на $D$ функций через ${\text{𝒞}}_{D}$ , а множество всех голоморфных на $D$ функций — через ${\text{ℋ}}_{D}$ . Множества ${\text{𝒞}}_{D}$ и ${\text{ℋ}}_{D}$ суть векторные пространства над полем комплексных чисел^[67].

Топологизируем векторные пространства ${\text{𝒞}}_{D}$ и ${\text{ℋ}}_{D}$ , то есть наделим их топологией и получим в результате топологические векторные пространства. Снабдим ${\text{𝒞}}_{D}$ и ${\text{ℋ}}_{D}$ топологией равномерной сходимости на компактных (то есть ограниченных и замкнутых) подмножествах. А именно: если функция $f_{l}$ непрерывна (или голоморфна) на $D$ , $f_{l}\in {\text{𝒞}}_{D}$ (соответственно $f_{l}\in {\text{ℋ}}_{D}$ ), то тогда $f_{l}\to 0$ при $\|f_{l}\|_{K}\to 0$ , $l\to \infty$ , на любом компакте $K\subset D$ ^[67].

Фундаментальная система окрестностей начала координат определяется множествами ${\text{𝒱}}\left(K_{m},\,{\frac {1}{m}}\right)$ , где ${\text{𝒱}}\,(K,\,a)$ , $a>0$ , — множество таких функций $f\in {\text{𝒞}}_{D}$ (соответственно ${\text{ℋ}}_{D}$ ), для которых $\|f\|_{K}<a$ , при этом $\{K_{m}\}$ есть последовательность компактов, удовлетворяющих следующим условиям^[67]:

K_{m}\subset K_{m+1}\setminus \partial K_{m+1},\quad

\bigcup \limits _{m=1}^{\infty }K_{m}\setminus \partial K_{m}=D.

Кроме того, получается, что ${\text{𝒞}}_{D}$ есть ${\text{ℱ}}$ -пространство, то есть это полное топологическое векторное пространство, обладающее счётной фундаментальной системой окрестностей нуля^[67].

Теорема Вейерштрасса в терминах топологического векторного пространства. Дано: топологизированные множества непрерывных ${\text{𝒞}}_{D}$ и голоморфных ${\text{ℋ}}_{D}$ функций в некоторой области $D$ комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}(z)$ , $n\geqslant 1$ , $z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})$ , $D\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ . Доказать: ${\text{ℋ}}_{D}$ есть замкнутое подпространство ${\text{𝒞}}_{D}$ ^[67].

Примечания

↑ ¹ ² Перевод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи
↑ ¹ ² ³ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 265.
↑ ¹ ² ³ Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного, 1973, 19. Степенный ряды, с. 68.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ Соломенцев Е. Д. Вейерштрасса теорема. 3), 1977.
↑ Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах, с. 318, 319.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 16. Функциональные ряды, с. 58.
↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 5. Простейшие свойства голоморфных функций, с. 34; Предметный указатель, с. 396.
↑ Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962, Предметный указатель, с. 418.
↑ Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 69, 72; Предметный указатель, с. 647.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 190.
↑ ¹ ² ³ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, 23. Теорема Вейерштрасса и Рунге, с. 120.
↑ ¹ ² ³ Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного, 1973, 19. Степенный ряды, с. 68—69.
↑ ¹ ² ³ Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999, § 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 64—65.
↑ ¹ ² ³ Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 72; § 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах, с. 319.
↑ ¹ ² Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 72; § 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах, с. 320.
↑ ¹ ² ³ Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Часть 1, 1963, 5.3. Аналитические функции, представляемые равномерно сходящимися рядами, с. 132.
↑ ¹ ² Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999, § 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 67.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 5. Простейшие свойства голоморфных функций, с. 34.
↑ ¹ ² ³ Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, Глава V. Последовательности голоморфных функций… § 1. Равномерно сходящиеся последовательности голоморфных функций, с. 158.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, 1.7 Limits of holomorphic functions, p. 14.
↑ Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999, § 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 64—67.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962, § 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 50.
↑ ¹ ² ³ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 267.
↑ Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного, 1989, § 12. Свойства регулярных функций, с. 93—94.
↑ ¹ ² Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава V. Ряды аналитических функций… § 2. Ряд Тейлора, с. 208.
↑ Соломенцев Е. Д. Вейерштрасса теорема. 4), 1977.
↑ ¹ ² Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, 23. Теорема Вейерштрасса и Рунге, с. 120—121.
↑ ¹ ² Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые приложения, 1964, 59. Теорема Вейерштрасса, с. 223.
↑ ¹ ² Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного, 1989, § 12. Свойства регулярных функций, с. 93.
↑ Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999, § 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 64.
↑ ¹ ² ³ Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 69—70.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Эрве М. Функции многих комплексных переменных, 1965, Глава I. Основные свойства голоморфных функций многих переменных. 4, с. 14.
↑ ¹ ² Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 190—191.
↑ ¹ ² ³ Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 16. Функциональные ряды, с. 58—59.
↑ ¹ ² Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999, § 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 65—66.
↑ Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые приложения, 1964, 59. Теорема Вейерштрасса, с. 223—225.
↑ Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 191—192.
↑ ¹ ² Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, 23. Теорема Вейерштрасса и Рунге, с. 121.
↑ ¹ ² ³ Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного, 1973, 19. Степенный ряды, с. 69.
↑ Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах, с. 319.
↑ ¹ ² Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 266—267.
↑ Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного, 1989, § 12. Свойства регулярных функций, с. 94.
↑ Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного, 1973, 19. Степенный ряды, с. 70.
↑ Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 194.
↑ ¹ ² Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999, § 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 66—67.
↑ Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 192—194.
↑ Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах, с. 319—320.
↑ Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 69.
↑ Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 70.
↑ Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 70—71.
↑ ¹ ² Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 71.
↑ Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 71—72.
↑ ¹ ² ³ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 262.
↑ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 1. Обозначения и определения, с. 11.
↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, 4. Области, с. 24.
↑ ¹ ² Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 268.
↑ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 267—268.
↑ ¹ ² Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, Глава V. Последовательности голоморфных функций… § 1. Равномерно сходящиеся последовательности голоморфных функций, с. 159—160.
↑ Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного, 1973, 19. Степенный ряды, с. 69—70.
↑ Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Часть 1, 1963, 5.3. Аналитические функции, представляемые равномерно сходящимися рядами, с. 131.
↑ ¹ ² Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава V. Ряды аналитических функций… § 2. Ряд Тейлора, с. 208—209.
↑ ¹ ² Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 268—269.
↑ ¹ ² Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Часть 1, 1963, 5.3. Аналитические функции, представляемые равномерно сходящимися рядами, с. 131—132.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 269.
↑ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, 1.7 Limits of holomorphic functions, p. 14; Exercise 1.25, p. 23; Theorem 2.6.1, p. 36.
↑ ¹ ² Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962, § 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 51.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ Мальгранж Б. Лекции по теории функций нескольких комплексных переменных, 1969, § 1. Формула Коши и элементарные следствия, с. 9.
↑ Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962, § 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 50—51.
↑ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 269—270.
↑ ¹ ² ³ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 270.
↑ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 270—271.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 271.
↑ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 272.
↑ ¹ ² ³ Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 72.

Источники

Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных / Предисловие академика Н. Н. Боголюбова. М.: «Наука», 1964. 411 с.: ил.
Гурвиц А., Курант Р. Теория функций / Пер. М. А. Евграфова. М.: «Наука», 1968. 648 с.: ил. [Adolf Hurwitz. Allhemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. R. Courant. Geometrische Funktionentheorie. Berlin · Göttingen · Heidelberg · New York: Springer-Verlag, 1964.]
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. Изд. 4-е, испр. М.: «Наука», 1973. 736 с., 231 рис.
Мальгранж Б. Лекции по теории функций нескольких комплексных переменных. М.: «Наука», 1969. 119 с.: ил.
Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I. Начала теории. Издание второе. М.: «Наука», 1967. 486 с.: ил.
Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного. М.: МФТИ, 1999. 253 с.: ил. ISBN 5-7417-0129-9.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного: Учеб. для вузов. 3-е изд., испр. М.: «Наука», 1989. 477 с. ISBN 5-02-013954-8.
Соломенцев Е. Д. Вейерштрасса теорема. 3) // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 617.
Соломенцев Е. Д. Вейерштрасса теорема. 4) // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 617.
Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: «Высшая школа», 1988. 167 с., ил. ISBN 5-06-003145-6.
Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I. Основные понятия и принципы: Пер. с румынского И. Берштейна. Ред. Е. Д. Соломенцев. М.: «Издательство иностранной литературы», 1962. 364 с., ил. [Stoilow S. Teoria Funcțiilor de o Variabilǎ Complexǎ, vol. I Noțiuni și Principii Dundamentale. Editura Academiei Republicii Populare Române, 1954.]
Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Часть 1. Основные операции анализа. 2-е изд. / Пер. с англ. под ред. Ф. В. Широкова. М.: Физматлит, 1963. 343 с.: ил. [Whittaker E. T., Watson G. N. A course of modern analysis. 4th edition. Cambridge: At the University Press, 1927.]
Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных: 2-е изд., перераб. и доп. М.: Физматлит, 1962. 419 с.
Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые приложения: 3-е изд. М.: «Наука», 1964. 387 с. с илл.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. 1, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 320 с.: ил.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.
Эрве М.^[фр.] Функции многих комплексных переменных. Локальная теория. Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «Мир», 1965. 165 с. [Hervé M. Several complex variables. Local theory. Bombay: Oxford University Press, 1963.]
Jaap Korevaar^[англ.], Jan Wiegerinck. Several Complex Variables. Amsterdam: University of Amsterdam, November 18, 2011. 260 p.

[англ-1] ¹ ² Перевод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи

[_e432e5ed11784bcb-2] ¹ ² ³ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 265.

[_8903a86a86b0fdf0-3] ¹ ² ³ Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного, 1973, 19. Степенный ряды, с. 68.

[_afb81d14319bad47-4] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ Соломенцев Е. Д. Вейерштрасса теорема. 3), 1977.

[_43d41a5776580d46-5] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах, с. 318, 319.

[_a9c366f8ea467bec-6] ¹ ² ³ ⁴ Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 16. Функциональные ряды, с. 58.

[_666e93ef10a7b78e-7] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 5. Простейшие свойства голоморфных функций, с. 34; Предметный указатель, с. 396.

[_37a781dddd53faf6-8] Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962, Предметный указатель, с. 418.

[_8adc6694bd2d6b6c-9] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 69, 72; Предметный указатель, с. 647.

[_309d178469d56e34-10] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 190.

[_2bb578880efd71c7-11] ¹ ² ³ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, 23. Теорема Вейерштрасса и Рунге, с. 120.

[_f9850aabd10976bf-12] ¹ ² ³ Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного, 1973, 19. Степенный ряды, с. 68—69.

[_ea5dd46fcb08c236-13] ¹ ² ³ Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999, § 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 64—65.

[_c8f0e2452024cd6d-14] ¹ ² ³ Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 72; § 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах, с. 319.

[_0f07835f7e63274d-15] ¹ ² Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 72; § 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах, с. 320.

[_161fff772f689335-16] ¹ ² ³ Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Часть 1, 1963, 5.3. Аналитические функции, представляемые равномерно сходящимися рядами, с. 132.

[_65485a32df60588a-17] ¹ ² Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999, § 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 67.

[_1dd3c248262acb9d-18] ¹ ² ³ ⁴ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 5. Простейшие свойства голоморфных функций, с. 34.

[_a2f83d68ca5670a4-19] ¹ ² ³ Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, Глава V. Последовательности голоморфных функций… § 1. Равномерно сходящиеся последовательности голоморфных функций, с. 158.

[_a90ab9b4131b253b-20] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, 1.7 Limits of holomorphic functions, p. 14.

[_ffe1b26fd8677300-21] Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999, § 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 64—67.

[_7775d0e59e01717c-22] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962, § 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 50.

[_cf6c57ed04b998f1-23] ¹ ² ³ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 267.

[_37ee1b8278058122-24] Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного, 1989, § 12. Свойства регулярных функций, с. 93—94.

[_54989b31d06550af-25] ¹ ² Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава V. Ряды аналитических функций… § 2. Ряд Тейлора, с. 208.

[_d2f1eed9dd516c78-26] Соломенцев Е. Д. Вейерштрасса теорема. 4), 1977.

[_3438dd5dd559270f-27] ¹ ² Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, 23. Теорема Вейерштрасса и Рунге, с. 120—121.

[_9015f299f522b147-28] ¹ ² Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые приложения, 1964, 59. Теорема Вейерштрасса, с. 223.

[_67f3d712e73a7e2b-29] ¹ ² Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного, 1989, § 12. Свойства регулярных функций, с. 93.

[_7e6b4b32ed5f894b-30] Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999, § 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 64.

[_31d2b0e482cc43b4-31] ¹ ² ³ Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 69—70.

[_185b2c00bec91c87-32] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Эрве М. Функции многих комплексных переменных, 1965, Глава I. Основные свойства голоморфных функций многих переменных. 4, с. 14.

[_3a8354eefa7298cf-33] ¹ ² Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 190—191.

[_16fcd0b678bfc398-34] ¹ ² ³ Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 16. Функциональные ряды, с. 58—59.

[_d5c638b290a9e58e-35] ¹ ² Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999, § 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 65—66.

[_4b7538ca0f4b8d16-36] Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые приложения, 1964, 59. Теорема Вейерштрасса, с. 223—225.

[_c801116f4d6fd0d5-37] Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 191—192.

[_2071e58807df87d0-38] ¹ ² Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, 23. Теорема Вейерштрасса и Рунге, с. 121.

[_94473b6a8dcee7e7-39] ¹ ² ³ Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного, 1973, 19. Степенный ряды, с. 69.

[_20a625c8a4edbc38-40] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах, с. 319.

[_7510ccb5f2ec5b8d-41] ¹ ² Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 266—267.

[_2a77fa12c429bd46-42] Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного, 1989, § 12. Свойства регулярных функций, с. 94.

[_82a00c73a06dbaf9-43] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного, 1973, 19. Степенный ряды, с. 70.

[_0d1cab84557af620-44] Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 194.

[_19fde4d619fda44e-45] ¹ ² Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999, § 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 66—67.

[_a7be04638eca6bbe-46] Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 192—194.

[_d1ffa99e79d184b5-47] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах, с. 319—320.

[_eaa459abca0e0dd7-48] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 69.

[_88802ab26c4b3069-49] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 70.

[_9ded9c6b7e66bd11-50] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 70—71.

[_8423c7b26b0ab2a2-51] ¹ ² Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 71.

[_25ea43d36add27dd-52] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 71—72.

[_a6b708ecee678ae6-53] ¹ ² ³ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 262.

[_cf17a59c9f4a02be-54] Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 1. Обозначения и определения, с. 11.

[_6fdbea075f0c3b41-55] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, 4. Области, с. 24.

[_fe20beed20230728-56] ¹ ² Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 268.

[_36dadd13d256c97b-57] Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 267—268.

[_aa8b51811a789840-58] ¹ ² Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, Глава V. Последовательности голоморфных функций… § 1. Равномерно сходящиеся последовательности голоморфных функций, с. 159—160.

[_de25655e17b90984-59] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного, 1973, 19. Степенный ряды, с. 69—70.

[_207c7a7735c22658-60] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Часть 1, 1963, 5.3. Аналитические функции, представляемые равномерно сходящимися рядами, с. 131.

[_8b7329082700a23c-61] ¹ ² Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава V. Ряды аналитических функций… § 2. Ряд Тейлора, с. 208—209.

[_fb39c9ac7c29450d-62] ¹ ² Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 268—269.

[_970a40222e503fe8-63] ¹ ² Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Часть 1, 1963, 5.3. Аналитические функции, представляемые равномерно сходящимися рядами, с. 131—132.

[_01bfd1ed20c3881f-64] ¹ ² ³ ⁴ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 269.

[_ffcda0f7c1676788-65] Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, 1.7 Limits of holomorphic functions, p. 14; Exercise 1.25, p. 23; Theorem 2.6.1, p. 36.

[_82ba63e5a5210e63-66] ¹ ² Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962, § 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 51.

[_e80b46c22f2befbf-67] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ Мальгранж Б. Лекции по теории функций нескольких комплексных переменных, 1969, § 1. Формула Коши и элементарные следствия, с. 9.

[_2f3c88c2280b6330-68] Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962, § 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 50—51.

[_f6674757cd9e2acc-69] Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 269—270.

[_6dfff2f5ec1a57c1-70] ¹ ² ³ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 270.

[_55778846dd5b0c19-71] Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 270—271.

[_63b10ff5e5cc505a-72] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 271.

[_7cd400f5f3cb821b-73] Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 272.

[_9e1f38b279c0fba3-74] ¹ ² ³ Гурвиц А., Курант Р. Теория функций, 1968, § 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 72.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Содержание

Теорема Вейерштрасса на комплексной плоскости

Первая часть теоремы Вейерштрасса

Вторая часть теоремы Вейерштрасса

Доказательство с использованием рядов Тейлора

Равномерная сходимость внутри области

Примеры рядов, сходящихся не в области

Применения теоремы Вейерштрасса

Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области

Теорема Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций

Теорема Вейерштрасса о семействах аналитических функций

Несобственный интеграл типа Коши

Степенной ряд по одной функции

Обобщения теоремы Вейерштрасса

Комплексное пространство

Топологическое пространство

Примечания

Источники

Portal di Ensiklopedia Dunia