Лемма о руке

Лемма о руке — лемма в доказательстве теоремы Коши о многогранниках.

Неформально утверждение можно описать следующим образом: Представьте себе руку робота, состоящую из нескольких звеньев, соединённых суставами. Каждое звено — это отрезок, а вся рука — ломаная. Пусть вся рука робота может двигаться в одной плоскости. Предположим, в изначальном состоянии рука робота образует выпуклую ломаную, то есть такую ломаную, что если мы соединим концы ломаной, то получим выпуклый многоугольник. Допустим теперь, что робот увеличивает угол в каждом суставе. Лемма утверждает, что тогда увеличится и расстояние между началом и концом руки.

Несмотря на простоту формулировки, доказательство леммы не просто. В частности, именно в этом месте оригинальное доказательство Коши имеет ошибку. Эта ошибка оставалась незамеченной более ста лет. Она была замечена Эрнстом Штейницем, видимо, между 1920 и 1928 годами и исправлена только в 1934^[1].

Предположим, ${\displaystyle A_{1}A_{2}\dots A_{n}}$ выпуклый многоугольник на евкидовой плоскости и ${\displaystyle B_{1}B_{2}\dots B_{n}}$ ломаная в плоскости или пространстве такая, что

• ${\displaystyle A_{i}A_{i+1}=B_{i}B_{i+1}}$ при ${\displaystyle i<n}$,
• ${\displaystyle \measuredangle A_{i-1}A_{i}A_{i+1}\leq \measuredangle B_{i-1}B_{i}B_{i+1}}$ при ${\displaystyle 1<i<n}$.

Тогда

${\displaystyle A_{1}A_{n}\leq B_{1}B_{n}.}$

Более того, в случае равенства ломаные ${\displaystyle A_{1}A_{2}\dots A_{n}}$ и ${\displaystyle B_{1}B_{2}\dots B_{n}}$ конгруэнтны.

• Аналогичный результат верен на сфере и плоскости Лобачевского.
  • Более того, лемма естественно обобщается на CAT(κ) пространства.^[2]

• Теорема Залгаллера. Если у двух сферических ${\displaystyle n}$-гольников ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ соответственные стороны равны и многоугольник ${\displaystyle A}$ лежит в полусфере, то хотя бы один из углов ${\displaystyle B}$ не меньше соответственного угла ${\displaystyle A}$.^[3]

• Лемма о согнутом луке^[4] — версия леммы о руке для гладких кривых:
  • Пусть ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ — пара гладких кривых пареметризованных длиной определённых на одном и том же интервале ${\displaystyle [a,b]}$. Предположим, что для любого ${\displaystyle t}$ выполняется неравенство ${\displaystyle \kappa _{\gamma }(t)\leq \kappa _{\tilde {\gamma }}(t)}$, где ${\displaystyle \kappa _{\gamma }(t)}$ и ${\displaystyle \kappa _{\tilde {\gamma }}(t)}$ обозначает кривизну ${\displaystyle \gamma }$ и соответственно ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ при ${\displaystyle t}$. Далее предположим, что ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ есть дуга плоской выпуклой кривой, то есть она проходит вдоль границы некоторой выпуклой плоской фигуры. Тогда расстояние между концами ${\displaystyle \gamma }$ не превосходит расстояния между концаму ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$; то есть,

    ${\displaystyle |\gamma (b)-\gamma (a)|\geq |{\tilde {\gamma }}(b)-{\tilde {\gamma }}(a)|.}$

Лемма верна если ${\displaystyle \gamma }$ есть кривая в евклидовом пространстве произвольной размерности. Иногда называется леммой Шура в честь Акселя Шура, доказавшего её частный случай.^[5] В полной общности лемма была доказана Эрхардом Шмидтом.^[6]

• Лемма Александрова
• Теорема Решетняка о мажоризации

• И. Х. Сабитов, Вокруг доказательства леммы Лежандра — Коши о выпуклых многоугольниках Сиб. матем. журн., 2004, том 45, № 4, с. 892—919
• Лекция 24 в Табачников С.Л., Фукс Д.Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — ISBN 978-5-94057-731-7.