Линейно-квадратичное гауссовское управление

Линейно-квадратичное гауссовское управление (англ. Linear quadratic Gaussian control, LQG control) — набор методов и математического аппарата теории управления для синтеза систем управления с отрицательной обратной связью для линейных систем с аддитивным гауссовским шумом. Синтез проводится путём минимизации заданного квадратичного функционала.

Линейно-квадратичное гауссовское (ЛКГ) управление относится к современным методам управления. Методология синтеза контроллера позволяет отнести системы управления, построенные на таком принципе, к оптимальным системам, в которых оптимизация проводится по некоторому заданному квадратичному критерию качества. Также эта теория принимает в расчёт присутствие возмущений в виде гауссова белого шума. Однако несмотря на то, что синтез ЛКГ-контроллеров предусматривает систематическую процедуру расчёта для оптимизации качества системы, главным его недостатком является то, что в рассмотрение не принимается робастность системы. Поэтому ЛКГ-синтез проводится только для систем, имеющих надёжную и точную линейную динамическую модель. Для повышения робастности системы управления применяют более сложные алгоритмы, такие как минимаксный ЛКГ синтез, или комбинированный ЛКГ/H∞ синтез. ЛКГ контроллеры могут использоваться как для дискретных, так и для непрерывных систем.

В процессе ЛКГ-синтеза получается оптимальный регулятор ${\displaystyle F(s)}$ для некоторого объекта управления ${\displaystyle G(s)}$.

Представим модель системы в пространстве состояний:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)+\mathbf {\xi } (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)+\mathbf {\theta } (t)}$,

где

${\displaystyle x(\cdot )}$ — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы,

${\displaystyle y(\cdot )}$ — вектор выхода,

${\displaystyle u(\cdot )}$ — вектор управления,

${\displaystyle \xi (\cdot )}$ — возмущения, действующие на объект управления,

${\displaystyle \theta (\cdot )}$ — шум измерения (датчики, АЦП и т. п.),

${\displaystyle A}$ — матрица системы,

${\displaystyle B}$ — матрица управления,

${\displaystyle C}$ — матрица выхода,

${\displaystyle D}$ — матрица прямой связи.

Шум объекта управления и шум измерения считаются белыми с гауссовым распределением.

Тогда задача синтеза ЛКГ-регулятора будет заключаться в минимизации некоторого функционала качества, который задаётся в виде:

${\displaystyle {\mathcal {J}}=\lim _{t\to \infty }E\int \limits _{0}^{t}\left[x^{T}(t)Rx(t)+u^{T}(t)Qu(t)\right]\,dt}$

Матрицы ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle Q}$ представляют собой параметры функционала качества и являются положительно-определёнными матрицами.

Описанная выше методология подходит также для синтеза ЛКГ-оптимальных регуляторов и для дискретных систем. Функционал качества в этом случае задаётся соотношением:

${\displaystyle {\mathcal {J}}=E\sum _{k=0}^{\infty }\left[x^{T}(k)Rx(k)+u^{T}(k)Qu(k)\right]}$

Функционал качества минимизируется стандартными методами теории оптимального управления. Получившийся в результате регулятор будет ЛКГ-оптимальным регулятором.

• Линейно-квадратичный регулятор

• Бахилина И. М., Степанов С. А. Синтез грубых линейных квадратичных гауссовских регуляторов//Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 7. — С.96-106.
• Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х томах. Т.3: Методы современной теории автоматического управления / Под ред. Н. Д. Егупова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. — 748с.
• M. Athans. «The Role and Use of the Stochastic Linear-Quadratic-Gaussian Problem in Control System Design», IEEE Trans. Automat. Contr., AC-16, pp. 529—552, Dec. 1971.