Логистическое распределение

Логистическое распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle L(\mu ,s)}$
Параметры	${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle s>0}$
Носитель	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )}$
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}}$
Функция распределения	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle \mu }$
Медиана	${\displaystyle \mu }$
Мода	${\displaystyle \mu }$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle 0}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle 6/5}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle \ln(s)+2}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)}$ для ${\displaystyle |s\,t|<1}$, Бета-функция
Характеристическая функция	${\displaystyle e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)}$ для ${\displaystyle |ist|<1}$

Логисти́ческое распределе́ние в теории вероятностей и математической статистике — один из видов абсолютно непрерывных распределений. Формой напоминает нормальное распределение, но имеет более «тяжёлые» концы и больший коэффициент эксцесса.

Функция плотности вероятности логистического распределения задаётся формулой:

${\displaystyle f(x)={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{4\,s}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right).}$

Альтернативная параметризация задается подстановкой ${\displaystyle \sigma ^{2}=\pi ^{2}\,s^{2}/3}$. Тогда функция плотности имеет вид:

${\displaystyle f(x)={\frac {\pi }{\sigma \,4{\sqrt {3}}}}\,\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}$

Функцией распределения является логистическая функция:

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\;\operatorname {tanh} \!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right).}$

Обратная функция к функции распределения (${\displaystyle F^{-1}}$), обобщение logit-функции:

${\displaystyle F^{-1}(p;\mu ,s)=\mu +s\,\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right).}$

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {xe^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x}{4\,s}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right)dx}$

Подставляем: ${\displaystyle u={\frac {(x-\mu )}{2s}},du={\frac {1}{2s}}dx}$

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,s\,u+\mu }{2}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du}$

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=s\int _{-\infty }^{\infty }u\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du+{\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du}$

Справедливо равенство: ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }u\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du=0}$

${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du={\frac {\mu }{2}}\,2=\mu }$

Центральный момент n-го порядка может быть вычислен как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}dF(x)=\int _{0}^{1}{\big (}F^{-1}(p)-\mu {\big )}^{n}dp\\&=s^{n}\int _{0}^{1}{\Big [}\ln \!{\Big (}{\frac {p}{1-p}}{\Big )}{\Big ]}^{n}\,dp.\end{aligned}}}$

Интеграл может быть выражен через числа Бернулли:

${\displaystyle \mathbb {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.}$

• N. Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8.
• Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd Ed. ed.). ISBN 0-471-58494-0.

В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (16 января 2013)