Математическая формулировка общей теории относительности

В этой статье рассматривается математический базис общей теории относительности.

Наше интуитивное восприятие указывает нам, что пространство-время является регулярным и непрерывным, то есть не имеет «дыр». Математически эти свойства обозначают, что пространство-время будет моделироваться гладким дифференцируемым многообразием 4 измерений ${\displaystyle M_{4}}$, то есть пространством размерности 4, для которого окрестность каждой точки походит локально на четырёхмерное евклидово пространство. Гладкость здесь означает достаточную дифференцируемость, пока без уточнения её степени.

Так как кроме того с хорошей точностью выполняются законы специальной теории относительности, то такое многообразие можно наделить лоренцевой метрикой, то есть невырожденным метрическим тензором с сигнатурой ${\displaystyle \{-,+,+,+\}}$ (или, что эквивалентно, ${\displaystyle \{+,-,-,-\}}$). Значение этого раскрывается в следующем разделе.

Дифференцируемое многообразие^[2] M, снабжённое лоренцевым метрическим тензором g, и представляет собой таким образом Лоренцево многообразие, которое составляет частный случай псевдориманова многообразия (определение «лоренцев» будет уточнено дальше в тексте; см. ниже раздел Лоренцева метрика).

Возьмём какую-нибудь систему координат ${\displaystyle x^{\mu }}$ в окрестности точки ${\displaystyle P}$, и пусть ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\mu }(x)}$ — локальный базис в касательном пространстве ${\displaystyle T_{x}M}$ к многообразию ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle x\in M}$. Касательный вектор ${\displaystyle \mathbf {w} \in T_{x}M}$ запишется тогда как линейная комбинация базисных векторов:

${\displaystyle \mathbf {w} \ =\ w^{\mu }\ \mathbf {e} _{\mu }.}$

При этом величины ${\displaystyle \ w^{\mu }}$ называются контравариантными компонентами вектора w. Метрический тензор ${\displaystyle \mathbf {g} }$ тогда — симметричная билинейная форма:

${\displaystyle \mathbf {g} \ =\ g_{\mu \nu }(x)\ dx^{\mu }\ \otimes \ dx^{\nu },}$

где через ${\displaystyle dx^{\mu }}$ обозначен дуальный по отношению к ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\mu }(x)}$ базис в кокасательном пространстве ${\displaystyle T_{x}^{*}M}$, то есть такие линейные формы на ${\displaystyle T_{x}M}$, что:

${\displaystyle dx^{\nu }({\mathbf {e} }_{\mu })\ =\ \delta _{\mu }^{\nu }.}$

Далее будем предполагать, что компоненты ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$ метрического тензора меняются в пространстве-времени непрерывно^[3].

Метрический тензор, таким образом, может быть представлен действительной симметричной матрицей 4x4:

${\displaystyle g_{\mu \nu }\ =\ g_{\nu \mu }.}$

Вообще любая действительная матрица 4x4 имеет априори 4 x 4 = 16 независимых элементов. Условие симметрии уменьшает это число до 10: на самом деле, остаётся 4 диагональных элемента, к которым надо добавить (16 — 4)/2 = 6 недиагональных элементов. Тензор ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ обладает, таким образом, только 10 независимыми компонентами.

Метрический тензор определяет для каждой точки ${\displaystyle x\in M}$ многообразия псевдо-скалярное произведение («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора); см. Лоренцева метрика) в касательном к многообразию ${\displaystyle M^{}}$ в точке ${\displaystyle x}$ псевдоевклидовом пространстве ${\displaystyle T_{x}M}$. Если ${\displaystyle \mathbf {u} }$ и ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — два вектора ${\displaystyle T_{x}M}$, их скалярное произведение запишется как:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \ =\ \mathbf {g} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\ =\ g_{\mu \nu }\ u^{\mu }\ v^{\nu }}$

В частности, взяв два базисных вектора, получаем компоненты:

${\displaystyle g_{\mu \nu }\ =\ \mathbf {g} ({\mathbf {e} }_{\mu },{\mathbf {e} }_{\nu })\ =\ {\mathbf {e} }_{\mu }\cdot {\mathbf {e} }_{\nu }}$

Замечание: если величины ${\displaystyle w^{\mu }}$ обозначают контравариантные компоненты вектора w, то можно определить также его ковариантные компоненты как:

${\displaystyle w_{\mu }\ =\ \mathbf {w} \ \cdot \mathbf {e} _{\mu }.}$

Рассмотрим вектор элементарного перемещения ${\displaystyle d\mathbf {P} \ =\ \epsilon ^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }}$ между точкой ${\displaystyle P^{}}$ и бесконечно близкой точкой: ${\displaystyle |\epsilon ^{\mu }|\ll 1}$. Инвариантной инфинитезимальной нормой этого вектора будет действительное число, обозначаемое ${\displaystyle ds^{2}}$, называемое квадратом интервала, и равное:

${\displaystyle ds^{2}\ =\ g_{\mu \nu }(x)\ \epsilon ^{\mu }\ \epsilon ^{\nu }}$.

Если обозначить компоненты вектора элементарного перемещения «по-физически» ${\displaystyle \epsilon ^{\mu }=dx^{\mu }}$, инфинитезимальный квадрат длины (интервала) запишется формально как:

${\displaystyle ds^{2}\ =\ g_{\mu \nu }(x)\ dx^{\mu }\ dx^{\nu }}$

Внимание: в этой формуле, а также и далее, ${\displaystyle dx^{\mu }}$ представляет собой действительное число, которое интерпретируется физически как «инфинитезимальное изменение» координаты ${\displaystyle x^{\mu }}$, а не как дифференциальная форма!

Уточним теперь выражение «лоренцева» (точнее локально лоренцева), которое означает, что метрический тензор имеет сигнатуру (1,3) и локально совпадает в первом порядке с лоренцевой метрикой специальной теории относительности. Принцип эквивалентности утверждает, что можно «стереть» локально поле гравитации, выбирая локально инерциальную систему координат. С математической точки зрения такой выбор является переформулировкой известной теоремы о возможности приведения квадратичной формы к главным осям.

В такой локально инерциальной системе координат ${\displaystyle X^{\alpha }}$ инвариант ${\displaystyle ds^{2}}$ в точке ${\displaystyle P}$ запишется как:

${\displaystyle ds^{2}\ =\ \eta _{\alpha \beta }\ dX^{\alpha }\ dX^{\beta }\ =\ -\ c^{2}\,dT^{2}\,+\,dX^{2}\,+\,dY^{2}\,+\,dZ^{2},}$

где ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$ является метрикой пространства-времени Минковского, а в малой окрестности этой точки

${\displaystyle ds^{2}\ =\ (\eta _{\alpha \beta }+\delta _{\alpha \beta })\ dX^{\alpha }\ dX^{\beta },}$

где ${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}$ имеет минимум второй порядок малости по отклонениям координат от точки ${\displaystyle P}$, то есть ${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }|_{P}=0,\ \left.{\frac {\partial \delta _{\alpha \beta }}{\partial X^{\alpha }}}\right|_{P}=0}$. Принимая соглашение знаков Мизнера, Торна и Уилера, имеем^[1]:

${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }\ =\ \mathrm {diag} \ (-1,\,+1,\,+1,\,+1\,)}$

Далее используются следующие обычные соглашения:

• греческие индексы меняются от 0 до 3. Они соответствуют величинам в пространстве-времени.
• латинские индексы меняются от 1 до 3. Они соответствуют пространственным составляющим величин в пространстве-времени.

Например, 4-вектор положения запишется в локально инерциальной системе координат как:

${\displaystyle X^{\alpha }\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{i}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{1}\\X^{2}\\X^{3}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}c\,T\\X\\Y\\Z\end{matrix}}\right).}$

Внимание: на самом деле конечные, а не инфинитезимальные приращения координат не образуют вектора. Вектор из них возникает лишь в однородном пространстве нулевой кривизны и тривиальной топологии.

Лоренцев характер многообразия ${\displaystyle M^{}}$ обеспечивает, таким образом, то, что касательные к ${\displaystyle M^{}}$ в каждой точке псевдоевклидова пространства будут обладать псевдоскалярными произведениями («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора)) с тремя строго положительными собственными значениями (соответствующими пространству) и одним строго отрицательным собственным значением (соответствующим времени). В частности, элементарный интервал «собственного времени», отделяющий два последовательных события, всегда:

${\displaystyle d\tau ^{2}\ =\ -{\frac {ds^{2}}{c^{2}}}\ >\ 0.}$

Обобщенно, аффинной связностью называется оператор ${\displaystyle \nabla }$, который приводит в соответствие векторному полю ${\displaystyle \mathbf {V} }$ из касательного пучка ${\displaystyle TM}$ поле эндоморфизмов ${\displaystyle \nabla \mathbf {V} }$ этого пучка. Если ${\displaystyle {\mathbf {w} }\in T_{x}M}$ — касательный вектор в точке ${\displaystyle x\in M}$, обычно обозначают

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }\ \mathbf {V} (x)\ =\ \nabla \mathbf {V} (x,\mathbf {w} ).}$

Говорят, что ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} }$ является «ковариантной производной» вектора ${\displaystyle \mathbf {V} }$ в направлении ${\displaystyle {\mathbf {w} }}$. Предположим к тому же, что ${\displaystyle \nabla \mathbf {V} }$ удовлетворяет дополнительному условию: для любой функции f справедливо

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(f\mathbf {V} )\ =\ f\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ df(\mathbf {w} )\ \mathbf {V} }$

Ковариантная производная удовлетворяет следующим двум свойствам линейности:

• линейность по w, то есть, какими бы ни были поля векторов w и u и действительные числа a и b, мы имеем:

${\displaystyle \nabla _{(a\mathbf {w} +b\mathbf {u} )}\mathbf {V} \ =\ a\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ b\ \nabla _{\mathbf {u} }\mathbf {V} .}$

• линейность по V, то есть, какими бы ни были поля векторов X и Y и действительные числа a и b, мы имеем:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(a\mathbf {X} +b\mathbf {Y} )\ =\ a\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {X} \ +b\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {Y} .}$

Как только ковариантная производная определена для полей векторов, она может быть распространена на тензорные поля с использованием правила Лейбница: если ${\displaystyle \mathbf {T} }$ и ${\displaystyle \mathbf {S} }$ — два любых тензора, то по определению:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(\mathbf {T} \otimes \mathbf {S} )\ =\ (\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {T} )\otimes \mathbf {S} \ +\ \mathbf {T} \otimes (\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {S} )}$

Ковариантная производная поля тензора вдоль вектора w есть снова поле тензора того же типа.

Можно доказать, что связность, ассоциированная с метрикой — связность Леви-Чивиты [1], является единственной связностью, помимо предыдущих условий дополнительно обеспечивающей то, что для любых полей векторов X, Y, Z из TM

• ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }(\mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ))\ =\ \mathbf {g} (\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} )\ +\ \mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Z} )}$ (метричность — тензор неметричности равен нулю).

• ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Y} \ -\ \nabla _{\mathbf {Y} }\mathbf {X} \ =\ [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$, где ${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$ — коммутатор Ли от X и Y (отсутствие кручения — тензор кручения равен нулю).

Ковариантная производная вектора есть вектор, и, таким образом, она может быть выражена как линейная комбинация всех базисных векторов:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }V\ =\ \left[\,\nabla _{\mathbf {w} }V\,\right]^{\rho }\ \mathbf {e} _{\rho }\ =\ \Gamma ^{\rho }\ \mathbf {e} _{\rho },}$

где ${\displaystyle \Gamma ^{\rho }}$ представляют собой компоненты вектора ковариантной производной в направлении ${\displaystyle \mathbf {e} _{\rho }}$ (эта составляющая зависит от выбранного вектора w).

Чтобы описать ковариантную производную, достаточно описать её для каждого из базисных векторов ${\displaystyle \mathbf {e} _{\nu }}$ вдоль направления ${\displaystyle \mathbf {e} _{\mu }}$. Определим тогда символы Кристоффеля (или просто кристоффели) ${\displaystyle \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu },}$ зависящие от 3 индексов^[4]

${\displaystyle \nabla _{\mu }{\mathbf {e} }_{\nu }\ =\ \nabla _{{\mathbf {e} }_{\mu }}{\mathbf {e} }_{\nu }\ =\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ {\mathbf {e} }_{\rho }}$

Связность Леви-Чивиты полностью характеризуется своими символами Кристоффеля. Согласно общей формуле

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(f\mathbf {V} )\ =\ f\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ df(\mathbf {w} )\ \mathbf {V} }$

для вектора V:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ \nabla _{\mu }(V^{\nu }\mathbf {e} _{\nu })\ =\ V^{\nu }\ (\nabla _{\mu }\mathbf {e} _{\nu })\ +\ dV^{\nu }(\mathbf {e} _{\mu })\ \mathbf {e} _{\nu }.}$

Зная, что ${\displaystyle dV^{\nu }(\mathbf {e} _{\mu })=\partial _{\mu }V^{\nu }}$, получаем:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ V^{\nu }\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ {\mathbf {e} }_{\rho }\ +\ \partial _{\mu }V^{\nu }\ \mathbf {e} _{\nu }}$

Первый член этой формулы описывает «деформацию» системы координат по отношению к ковариантной производной, а второй — изменения координат вектора V. При суммировании по немым индексам мы можем переписать это соотношение в форме

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ \left[\,V^{\rho }\ \Gamma ^{\nu }{}_{\mu \rho }\ +\ \partial _{\mu }V^{\nu }\,\right]\ \mathbf {e} _{\nu }}$

Из этого получаем важную формулу для компонент:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} ^{\nu }\ =\ \left[\,\nabla _{\mu }\mathbf {V} \,\right]^{\nu }\ =\ \partial _{\mu }V^{\nu }\ +\ \Gamma _{~\mu \rho }^{\nu }\ V^{\rho }}$

Используя формулу Лейбница, таким же образом можно продемонстрировать, что:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} _{\nu }\ =\ \partial _{\mu }V_{\nu }\ -\ \Gamma _{~\mu \nu }^{\rho }\ V_{\rho }.}$

Чтобы вычислить эти составляющие в явной форме, выражения для символов Кристоффеля должны быть определены, исходя из метрики. Их легко получить, написав следующие условия:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\ \mathbf {g} _{\nu \rho }\ =\ 0.}$

Расчёт этой ковариантной производной приводит к

${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\ g^{\mu \nu }\ \left(\partial _{\sigma }g_{\nu \rho }\ +\ \partial _{\rho }g_{\nu \sigma }\ -\ \partial _{\nu }g_{\rho \sigma }\right),}$

где ${\displaystyle g^{\mu \nu }\ }$ — компоненты «обратного» метрического тензора, определенные уравнениями

${\displaystyle g^{\mu \nu }\ g_{\nu \rho }\ =\ \delta ^{\mu }{}_{\rho }}$

Символы Кристоффеля «симметричны»^[5] по отношению к нижним индексам: ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }=\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \rho }.\ }$

Замечание: иногда определяются также следующие символы:

${\displaystyle \Gamma _{\nu \rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\ \left(\partial _{\sigma }g_{\nu \rho }\ +\ \partial _{\rho }g_{\nu \sigma }\ -\ \partial _{\nu }g_{\rho \sigma }\right)}$

получаемые как:

${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }\ =\ g^{\mu \nu }\ \Gamma _{\nu \rho \sigma }}$

Тензор кривизны Римана R — тензор 4-й валентности, определённый для любых векторных полей X, Y, Z из M как

${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mathbf {Z} \ =\ \nabla _{\mathbf {X} }\,(\nabla _{\mathbf {Y} }\mathbf {Z} )\ -\ \nabla _{\mathbf {Y} }\,(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Z} )\ -\ \nabla _{[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}\mathbf {Z} \;.}$

Его компоненты в явной форме выражаются из метрических коэффициентов:

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\left(\partial _{\nu \rho }^{2}g_{\mu \sigma }\ +\ \partial _{\mu \sigma }^{2}g_{\nu \rho }\ -\ \partial _{\nu \sigma }^{2}g_{\mu \rho }\ -\ \partial _{\mu \rho }^{2}g_{\nu \sigma }\right)\ +}$

${\displaystyle +\ g_{\lambda \tau }\left(\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \rho }\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \sigma }\ -\ \Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \rho }\right)\;.}$

Симметрии этого тензора:

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ R_{\rho \sigma \mu \nu }\;,}$

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ -\ R_{\nu \mu \rho \sigma }\ =\ -\ R_{\mu \nu \sigma \rho }\;.}$

Он удовлетворяет также следующему соотношению:

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ +\ R_{\mu \sigma \nu \rho }\ +\ R_{\mu \rho \sigma \nu }\ =\ 0.}$

Тензор Риччи — тензор валентности 2, определенный свёрткой тензора кривизны Римана

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ g^{\rho \sigma }\ R_{\rho \mu \sigma \nu }\ =\ R_{~\mu \sigma \nu }^{\sigma }\;.}$

Его компоненты в явном виде через символы Кристоффеля:

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ \partial _{\rho }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ -\ \partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \rho }\ +\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\rho \sigma }\ -\ \Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \rho }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\;.}$

Этот тензор симметричен: ${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ R_{\nu \mu }\ }$.

Скалярная кривизна является инвариантом, определяемым свёрткой тензора Риччи с метрикой

${\displaystyle R\ =\ g^{\mu \nu }\ R_{\mu \nu }\ =\ R_{~\nu }^{\nu }.}$

Уравнения гравитационного поля, которые называются уравнениями Эйнштейна, записываются так

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\ T_{\mu \nu },}$

или так

${\displaystyle G_{\mu \nu }\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\ T_{\mu \nu },}$

где ${\displaystyle \Lambda }$ — космологическая константа, ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме, ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная, которая появляется также в законе всемирного тяготения Ньютона, ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R}$ — тензор Эйнштейна, а ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ — тензор энергии-импульса.

Симметричный тензор ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ имеет только 10 независимых составляющих, тензорное уравнение Эйнштейна в заданной системе координат эквивалентно системе 10 скалярных уравнений. Эта система 10 связанных нелинейных уравнений в частных производных в большинстве случаев очень трудна для изучения.

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

${\displaystyle T_{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T_{00}&T_{01}&T_{02}&T_{03}\\T_{10}&T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{20}&T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{30}&T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right).}$

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

• T₀₀ — объёмная плотность энергии. Она должна быть положительной.
• T₁₀, T₂₀, T₃₀ — плотности компонент импульса.
• T₀₁, T₀₂, T₀₃ — компоненты потока энергии.
• Под-матрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент:

${\displaystyle T_{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right)}$

— матрица потоков импульсов. В механике жидкости диагональные компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице ${\displaystyle {\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)}$, где ${\displaystyle {\rho }}$ есть плотность массы, а ${\displaystyle p}$ — гидростатическое давление.