Метод Стёрмера — Верле

Метод Стёрмера — Верле́ — численный метод решения задачи Коши для дифференциальных уравнений. Часто используется для нахождения траектории материальной точки, движущейся по закону ${\ddot {\vec {x}}}={\vec {a}}({\vec {x}},t)$ : для вычисления траекторий частиц в моделях молекулярной динамики и в компьютерных играх. Метод Верле более устойчив, чем более простой метод Эйлера, и имеет при этом другие качества, необходимые для моделирования физических процессов в реальном времени.

История и названия

Был использован^[1] Исааком Ньютоном в первой книге «Начал» для доказательства второго закона Кеплера.

Назван в честь французского физика Лу Верле, который использовал метод для моделирования динамики молекул, и норвежского астрофизика Карла Стёрмера.

Метод (и эквивалентные ему) называется по-разному в зависимости от области применения^[1]^[2]:

метод Стёрмера, метод Энке — в астрономии;
метод Верле — в молекулярной динамике;
метод лягушки (англ. leapfrog)— в области уравнений в частных производных.

Основной алгоритм

Алгоритм Верле используется для вычисления следующего местоположения точки по текущему и прошлому, без использования скорости. Формула получается следующим образом. Записывается разложение в ряд Тейлора вектора ${\vec {x}}(t)$ местоположения точки в моменты времени $(t+\Delta t)$ и $(t-\Delta t)$ :

{\vec {x}}(t+\Delta t)={\vec {x}}(t)+{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}}{2}}+{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t^{4}),

{\vec {x}}(t-\Delta t)={\vec {x}}(t)-{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}}{2}}-{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t^{4}),

где

{\vec {x}}

— координаты точки,

{\vec {v}}

— скорость,

{\vec {a}}

— ускорение,

{\vec {b}}

— рывок (производная ускорения по времени).

Сложив эти 2 уравнения и выразив ${\vec {x}}(t+\Delta t)$ , получим

{\vec {x}}(t+\Delta t)=2{\vec {x}}(t)-{\vec {x}}(t-\Delta t)+{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).

Таким образом, значение радиус-вектора точки может быть вычислено без знания скорости.

Особенности

Основная особенность алгоритма состоит в возможности накладывать на систему точек различные ограничения. Например, можно связать некоторые из них твёрдыми стержнями заданной длины. При этом алгоритм работает следующим образом:

Вычисляются новые положения тел (см. формулу выше).
Для каждой связи удовлетворяется соответствующее ограничение, то есть расстояние между точками делается таким, каким оно должно быть.
Шаг 2 повторяется несколько раз, тем самым все условия удовлетворяются (разрешается система условий).

Данный метод, несмотря на многократное повторение шага 2, очень эффективен.

Свойства

Метод является характерным методом геометрического численного интегрирования и обладает следующими свойствами^[2]^[3]:

принадлежит классу одношаговых общих линейных методов;
имеет 2-й порядок точности;
является симметричным (самосопряжённым) интегратором;
является симплектическим интегратором;
сохраняет фазовый объём для ряда систем;
сохраняет линейные первые интегралы систем.

Может рассматриваться как:

метод Нюстрёма 2-го порядка;
композиция симплектического метода Эйлера с его сопряжённым;
расщепляющий метод для систем вида ${\dot {\vec {q}}}=f({\vec {p}}),\ {\dot {\vec {p}}}=g({\vec {q}})$ ;
разделённый метод Рунге—Кутты для систем ${\dot {\vec {q}}}=f({\vec {q}},{\vec {p}}),\ {\dot {\vec {p}}}=g({\vec {q}},{\vec {p}})$ , заданный таблицами Бутчера^[англ.] ${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cc}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

Применение

Популярность у разработчиков компьютерных игр метод получил в 2000 году с выходом игры Hitman: Codename 47.

Примечания

↑ ¹ ² Ernst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner. Geometric numerical integration illustrated by the Störmer–Verlet method (англ.) // Acta Numerica. — 2003-5. — Vol. 12. — P. 399–450. — ISSN 1474-0508 0962-4929, 1474-0508. — doi:10.1017/S0962492902000144.
↑ ¹ ² Ernst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner. Geometric Numerical Integration. — Berlin/Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. — (Springer Series in Computational Mathematics). — ISBN 9783540306634.
↑ Sergio Blanes, Fernando Casas. A Concise Introduction to Geometric Numerical Integration. — Chapman and Hall/CRC, 2016-06-06. — (Monographs and Research Notes in Mathematics). — ISBN 9781482263428, 9781482263442. Архивировано 3 июня 2018 года.