Механика контактного взаимодействия

Механика контактного взаимодействия занимается расчётом упругих, вязкоупругих и пластичных тел при статическом или динамическом контакте. Механика контактного взаимодействия является основополагающей инженерной дисциплиной, обязательной при проектировании надёжного и энергосберегающего оборудования. Она будет полезна при решении многих контактных задач, например, колесо-рельс, при расчёте муфт, тормозов, шин, подшипников скольжения и качения, двигателей внутреннего сгорания, шарниров, уплотнений; при штамповке, металлообработке, ультразвуковой сварке, электрических контактах и др. Она охватывает широкий спектр задач, начиная от расчётов прочности элементов сопряжения трибосистемы с учётом смазывающей среды и строения материала, до применения в микро- и наносистемах.

Классическая механика контактных взаимодействий связана, прежде всего, с именем Генриха Герца. В 1882 году Герц решил задачу о контакте двух упругих тел с искривлёнными поверхностями. Этот классический результат и сегодня лежит в основе механики контактного взаимодействия. Лишь столетие спустя Джонсон, Кендал и Робертс нашли аналогичное решение для адгезионного контакта (JKR — теория).

Дальнейший прогресс механики контактного взаимодействия в середине 20-го столетия связан с именами Боудена и Тейбора. Они первые указали на важность учёта шероховатости поверхности контактируемых тел. Шероховатость приводит к тому, что действительная площадь контакта между трущимися телами намного меньше кажущейся площади контакта. Эти представления существенно изменили направление многих трибологических исследований. Работы Боудена и Тейбора вызвали появление ряда теорий механики контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.

Пионерскими работами в этой области являются работы Архарда (1957), который пришёл к заключению, что при контакте упругих шероховатых поверхностей площадь контакта примерно пропорциональна нормальной силе. Дальнейший важный вклад в теорию контакта шероховатых поверхностей внесли Гринвуд и Виллиамсон (1966) и Перссон (2002). Главным результатом этих работ является доказательство того, что действительная площадь контакта шероховатых поверхностей в грубом приближении пропорциональна нормальной силе, в то время как характеристики отдельного микроконтакта (давление, размер микроконтакта) слабо зависят от нагрузки.

Твёрдый шар радиуса ${\displaystyle R}$ вдавливается в упругое полупространство на глубину ${\displaystyle d}$ (глубина проникновения), образуя область контакта радиуса ${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$.

Необходимая для этого сила равна

${\displaystyle F={\frac {4}{3}}E^{*}R^{1/2}d^{3/2}}$,

причём

${\displaystyle {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$.

${\displaystyle E_{1}}$ и ${\displaystyle E_{2}}$ здесь модули упругости, а ${\displaystyle \nu _{1}}$ и ${\displaystyle \nu _{2}}$ — коэффициенты Пуассона обоих тел.

При контакте двух шаров с радиусами ${\displaystyle R_{1}}$ и ${\displaystyle R_{2}}$ эти уравнения справедливы соответственно для радиуса ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

Распределение давления в площади контакта рассчитывается как

${\displaystyle p=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{1/2}}$

с

${\displaystyle p_{0}={\frac {2}{\pi }}E^{*}\left({\frac {d}{R}}\right)^{1/2}}$.

Максимальное касательное напряжение достигается под поверхностью, для ${\displaystyle \nu =0,33}$ при ${\displaystyle z\approx 0,49a}$ .

Контакт между двумя скрещенными цилиндрами с одинаковыми радиусами эквивалентен контакту между шаром радиусом ${\displaystyle R}$ и плоскостью (см.выше).

Если твёрдый цилиндр радиусом a вдавливается в упругое полупространство, тo давление распределяется следующим образом

${\displaystyle p=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-1/2}}$,

причём

${\displaystyle p_{0}={\frac {1}{\pi }}E^{*}{\frac {d}{a}}}$.

Связь между глубиной проникновения и нормальной силой определяется

${\displaystyle F=2aE^{*}d{\frac {}{}}}$.

При индентировании упругого полупространства твёрдым конусообразным индентером глубина проникновения и радиус контакта связаны следующим соотношением:

${\displaystyle d={\frac {\pi }{2}}a\tan \theta }$.

${\displaystyle \theta }$ есть угол между горизонталью и боковой плоскостью конуса. Распределение давления определяется формулой

${\displaystyle p(r)=-{\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}ln\left({\frac {a}{r}}-{\sqrt {\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}-1}}\right)}$ .

Напряжение в вершине конуса (в центре области контакта) изменяется по логарифмическому закону. Суммарная сила рассчитывается как

${\displaystyle F_{N}={\frac {2}{\pi }}E{\frac {d^{2}}{\tan \theta }}}$.

В случае контакта между двумя упругими цилиндрами с параллельными осями сила прямо пропорциональна глубине проникновения:

${\displaystyle F={\frac {\pi }{4}}E^{*}Ld}$.

Радиус кривизны в этом соотношении вообще не присутствует. Полуширина контакта определяется следующим отношением

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$ ,

с

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$,

как и в случае контакта между двумя шарами. Максимальное давление равно

${\displaystyle p_{0}=\left({\frac {E^{*}F}{\pi LR}}\right)^{1/2}}$.

Когда два тела с шероховатыми поверхностями взаимодействуют друг с другом, реальная площадь контакта ${\displaystyle A}$ намного меньше, чем видимая площадь ${\displaystyle A_{0}}$. При контакте между плоскостью со случайно распределённой шероховатостью и упругим полупространством реальная площадь контакта пропорциональна нормальной силе ${\displaystyle F}$ и определяется следующим уравнением:

${\displaystyle A={\frac {\kappa }{E^{*}h'}}F}$

При этом ${\displaystyle h'}$ — среднеквадратичное значение неровности плоскости и ${\displaystyle \kappa \approx 2}$. Среднее давление в реальной площади контакта

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}\approx {\frac {1}{2}}E^{*}h'}$

рассчитывается в хорошем приближении как половина модуля упругости ${\displaystyle E^{*}}$, умноженная на среднеквадратичное значение неровности профиля поверхности ${\displaystyle h'}$. Если это давление больше твёрдости ${\displaystyle \sigma _{0}}$ материала и, таким образом

${\displaystyle \Psi ={\frac {E^{*}h'}{\sigma _{0}}}>2}$,

то микронеровности находятся полностью в пластичном состоянии. Для ${\displaystyle \Psi <{\frac {2}{3}}}$ поверхность при контакте деформируется только упруго. Величина ${\displaystyle \Psi }$ была введена Гринвудом и Виллиамсоном и носит название индекса пластичности. Факт деформирования тела, упругого или пластического, не зависит от приложенной нормальной силы.

Феномен адгезии проще всего наблюдать в контакте твердого тела с очень мягким упругим телом, например, с желе. При прикосновении тел в результате действия сил Ван дер Ваальса возникает адгезионная шейка.  Для того чтобы тела опять разорвать, необходимо приложить некоторую минимальную силу, именуемую силой адгезии. Аналогичные явления имеют место в контакте двух твердых тел, разделенных очень мягким слоем, как например, в стикере или в пластыре. Адгезия может как представлять технологический интерес, например, в клеевом соединении, так и являться мешающим фактором, например, препятствующим быстрому открытию эластомерных клапанов.

Сила адгезии между параболическим твердым телом и упругим полупростанством впервые была найдена в 1971 г. Джонсоном, Кендаллом и Робертсом^[1]. Она равна

${\displaystyle F_{A}=(3/2)\pi \gamma R}$,

где ${\displaystyle \gamma }$ есть энергия отрыва на единицу площади, а ${\displaystyle R}$ радиус кривизны тела.

Сила адгезии плоского цилиндрического штампа радуса ${\displaystyle a}$ была найдена также в 1971 году Кендаллом^[2]. Она равна

${\displaystyle F_{A}={\sqrt {8\pi a^{3}E^{*}\gamma }}}$,

Более сложные формы начинают отрываться "с краев" формы, после чего фронт отрыва растпростаняется к центру до достижения некоторого критического состояния^[3]. Процесс отрыва адгезивного контакта можно наблюдать в исследовании^[4].

Многие задачи механики контактного взаимодействия могут быть легко решены методом редукции размерности. В этом методе исходная трехмерная система замещается на одномерное упругое или вязкоупругое основание (рисунок). Если параметры основания и форма тела выбраны на основе простых правил метода редукции, то макроскопические свойства контакта совпадают точно со свойствами оригинала.^{[5] [6][7]}

К. Л. Джонсон, К. Кендал и А. Д. Робертс (JKR — по первым буквам фамилий) взяли эту теорию за основу при вычислении теоретического сдвига или глубины вдавливания при наличии адгезии в их значимой статье «Поверхностная энергия и контакт упругих твёрдых частиц», изданной в 1971 в трудах Королевского Общества. Теория Герца вытекает из их формулировки, при условии, если адгезия материалов равна нулю.

Подобно этой теории, но на основе других предположений, в 1975 Б. В. Дерягин, В. М. Мюллер и Ю. П. Топоров разработали другую теорию, которая среди исследователей известна как теория DMT, и из которой также вытекает формулировка Герца при условии нулевой адгезии.

Теория DMT в дальнейшем была несколько раз пересмотрена прежде, чем она была принята как ещё одна теория контактного взаимодействия в дополнение к теории JKR.

Обе теории, как DMT так и JKR, являются основой механики контактного взаимодействия, на которых базируются все модели контактного перехода, и которые используются в расчётах наносдвигов и электронной микроскопии.

• K. L. Johnson: Contact mechanics. Cambridge University Press, 6. Nachdruck der 1. Auflage, 2001.
• Popov, Valentin L.: Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation, Springer-Verlag, 2009, 328 S., ISBN 978-3-540-88836-9.
• Popov, Valentin L.: Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications, Springer-Verlag, 2010, 362 p., ISBN 978-3-642-10802-0.
• В. Л. Попов: Механика контактного взаимодействия и физика трения, М: Физматлит, 2012, 348 c, ISBN 978-5-9221-1443-1.
• I. N. Sneddon: The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile. Int. J. Eng. Sci., 1965, v. 3, pp. 47—57.
• S. Hyun, M. O. Robbins: Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths. Trobology International, 2007, v.40, pp. 1413—1422.
• V.L. Popov: Method of reduction of dimensionality in contact and friction mechanics: A linkage between micro and macro scales. Friction, 2013, v.1, N. 1, pp. 41—62.