Многообразие Уайтхеда

Многообразие Уайтхеда — определённый пример открытого трёхмерного многообразия, являющегося стягиваемым, но не гомеоморфным ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Пример был найден Генри Уайтхедом в 1935 году при попытке решить гипотезу Пуанкаре.

В одномерном и двумерном случаях подобных примеров не существует.

Для построения в трёхмерной сфере ${\displaystyle \mathbb {S^{3}} }$ выбирается незаузленное полноторие ${\displaystyle T_{1}}$, далее — второе полноторие ${\displaystyle T_{2}}$ в ${\displaystyle T_{1}}$ так, что ${\displaystyle T_{2}}$ и трубчатая окрестность меридиана ${\displaystyle T_{1}}$ образуют утолщение зацепления Уайтхеда. При этом ${\displaystyle T_{2}}$ можно стянуть в дополнении меридиана ${\displaystyle T_{1}}$ и меридиан ${\displaystyle T_{1}}$ можно стянуть в дополнении ${\displaystyle T_{2}}$.

Далее строится полноторие ${\displaystyle T_{3}}$, вложенное в ${\displaystyle T_{2}}$ тем же способом, как и ${\displaystyle T_{2}}$ для ${\displaystyle T_{1}}$; это построение можно продолжить до бесконечности, получив последовательность вложенных полнотрий:

${\displaystyle T_{1}\supset T_{2}\supset T_{3}\supset \dots }$

Континуум Уайтхеда определяется как пересечение построенных полнотрий:

${\displaystyle T_{\infty }=\bigcap _{i}T_{i}}$.

Дополнение ${\displaystyle W=\mathbb {S^{3}} \setminus T_{\infty }}$ и есть многообразие Уайтхеда.

• Многообразие Уайтхеда, ${\displaystyle W}$, не гомеоморфно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, но произведение ${\displaystyle W\times \mathbb {R} }$ гомеоморфно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.
• Многообразие Уайтхеда не односвязно на бесконечности. То есть ${\displaystyle W}$ содержит компактное множество ${\displaystyle K}$ такое, что для любого другого компактного множества ${\displaystyle K'\supset K}$ дополнение ${\displaystyle W\backslash K'}$ не односвязно.

• Ожерелье Антуана

• Kirby, Robion. The topology of 4-manifolds. — Springer-Verlag, 1989. — (Lecture Notes in Mathematics, 1374). — ISBN 0-387-51148-2.