Ожерелье Антуана

Ожерелье Антуана (антуановское множество^[1]) — пример подмножества евклидова пространства, гомеоморфного канторову множеству, но при этом имеющего неодносвязное дополнение.

Построен Луи Антуаном в 1921 году^[2].

Ожерелье получается как пересечение убывающей последовательности компактных множеств:

${\displaystyle K_{1}\supset K_{2}\supset \dots }$

такой, что каждое ${\displaystyle K_{n}}$ является объединением конечного числа непересекающихся полноториев.

Если максимальный диаметр полнотория в ${\displaystyle K_{n}}$ стремится к нулю при ${\displaystyle n\to \infty }$, то пересечение:

${\displaystyle K=\bigcap _{n}K_{n}}$

является компактным вполне несвязным множеством без изолированных точек и значит гомеоморфно канторову множеству.

С другой стороны, можно выбрать последовательность ${\displaystyle K_{n}}$ так, что дополнение к полученному ${\displaystyle K}$ неодносвязно, для этого пересечение ${\displaystyle K_{n+1}}$ с каждым полноторием в ${\displaystyle K_{n}}$ должно образовывать замкнутую цепь как на картинке.

• Дикая сфера
• Дикий узел
• Многообразие Уайтхеда