Многочлены Кравчука

Многочлены Кравчука
Общая информация
Формула	${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_{2}F_{1}(-n,-x;-N;1/p)}$
Скалярное произведение	${\displaystyle (f,g)=\sum \limits _{x=0}^{N}f(x)g(x)\sigma (x)}$.
Область определения	${\displaystyle x\in {1,2,...N}}$
Дополнительные характеристики
Названы в честь	Кравчук, Михаил Филиппович

Многочлены Кравчука (М. Ф. Кравчук, 1929) относятся к классическим ортогональным полиномам дискретной переменной на равномерной сетке, для которых соотношение ортогональности представляет собой не интеграл, а ряд или конечную сумму: ${\displaystyle \sum \limits _{x=0}^{N}k_{n}^{(p)}(x)k_{m}^{(p)}(x)\sigma (x)=d_{n}^{2},\delta _{m,n}}$.

Здесь ${\displaystyle \sigma (x)={\binom {N}{x}}p^{x}q^{N-x}}$ — весовая функция, ${\displaystyle d_{n}={\sqrt {{\binom {N}{n}}(pq)^{n}}}}$ — квадратичная норма, ${\displaystyle 0<p<1,\quad 0<q<1,\quad p+q=1}$. Для ${\displaystyle p=q=1\left/2\right.}$ весовая функция с точностью до постоянного множителя ${\displaystyle 1\left/2^{N}\right.}$ сводится к биномиальному коэффициенту.

Рекуррентное соотношение для этих многочленов имеет вид ${\displaystyle (n+1)k_{n+1}^{(p)}(x)+pq\left(N-n+1\right)k_{n-1}^{(p)}(x)={\bigl [}x+n(p-q)-pN{\bigr ]}k_{n}^{(p)}(x)}$.

Путём несложных преобразований его можно привести к форме

${\displaystyle f_{n+1}{\frac {k_{n+1}^{(p)}(x)}{d_{n+1}}}+f_{n}{\frac {k_{n-1}^{(p)}(x)}{d_{n-1}}}=\left(rx+\varepsilon n+\Delta \right){\frac {k_{n}^{(p)}(x)}{d_{n}}}}$,

где

${\displaystyle f_{n}={\sqrt {\frac {n(N+1-n)}{N}}},\quad r={\frac {1}{\sqrt {pqN}}},\quad \varepsilon =r(p-q),\quad \Delta =-rpN.}$

Многочлены Кравчука могут быть выражены через гипергеометрическую функцию Гаусса:

${\displaystyle k_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_{2}F_{1}(-n,-x;-N;1/p)}$

В пределе при ${\displaystyle N\to \infty }$ многочлены Кравчука переходят в многочлены Эрмита:

${\displaystyle \lim \limits _{N\to \infty }\left(2/Npq\right)^{n/2}n!;k_{n}^{(p)}\left(Np+{\sqrt {2Npq}},x\right)=H_{n}(x)}$

Первые четыре полинома для простейшего случая ${\displaystyle p=q=1/2}$:

• ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}(x,N)=1}$
• ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{1}(x,N)=-2x+N}$
• ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(x,N)=2x^{2}-2Nx+{N \choose 2}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}(x,N)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2Nx^{2}-\left(N^{2}-N+{\frac {2}{3}}\right)x+{N \choose 3}}$

• Sur une généralisation des polynomes d’Hermite. M. Krawtchouk. C.R.Acad. Sci. 1929. T.189, No.17. P.620 — 622 — статья, в которой впервые введены многочлены Кравчука; по ссылке доступны французский оригинал и переводы на английский и русский языки.
• А. Ф. Никифоров, С. К. Суслов, В. Б. Уваров. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. Москва, «Наука», 1985.
• Krawtchouk Polynomials Home Page — сайт, посвященный многочленам Кравчука, содержит, в частности, обширную библиографию.

• Матрицы Кравчука
• Теорема Мак-Вильямс

У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить: В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (3 сентября 2013) Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. (3 сентября 2013) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.