Многочлены Полачека

Многочлены Полачека — последовательность многочленов ${\displaystyle P_{n}^{\lambda }(x;\varphi ),\;\lambda >0,\;0<\varphi <\pi ,\;n=\{0,1,...\}}$, которые были рассмотрены Полачеком в 1950 году.

${\displaystyle P_{-1}^{\lambda }=0}$

${\displaystyle P_{0}^{\lambda }=1}$

${\displaystyle nP_{n}^{\lambda }-2\left((n-1+\lambda )\cos \varphi +x\sin \varphi \right)P_{n-1}^{\lambda }+(n-2+2\lambda )P_{n-2}^{\lambda }=0}$

• Симметричные многочлены Полачека ${\displaystyle \left(P_{n}^{\lambda }(x;\pi /2)\right)}$ ортогональны на всей вещественной оси с весом:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {2^{2\lambda }}{\Gamma (2\lambda )}}{|\Gamma (\lambda +ix)|}^{2}}$, где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция Эйлера

• Аналог формул Родрига для многочленов Полачека:

${\displaystyle P_{n}^{\lambda }(x;\pi /2)G(\lambda ,x)={\frac {{-1}^{n}}{n!}}\delta ^{n}G\left(\lambda +{\frac {n}{2}}\right)}$, где ${\displaystyle G(\lambda ,x)={\frac {\Gamma (\lambda +ix)}{\Gamma (1-\lambda +ix)}}e^{\pi x}}$ — мероморфная функция, а ${\displaystyle \delta }$ — оператор конечной разности ${\displaystyle (\delta F)(x)=F\left(x+{\frac {i}{2}}\right)-F\left(x-{\frac {i}{2}}\right)}$

• В. Н. Сорокин. Обобщенные многочлены Полачека (рус.) // Матем. сб.. — 2009. — Т. 200, № 4. — С. 113—130.

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.

У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить: В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (16 августа 2013) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.